Resumen

Les difficultés systématiques de compréhension que soulève l‘enseignement des mathématiques conduisent à se poser la question du type de fonctionnement cognitif qu‘exige l‘activité mathématique. La manière de penser et de voir qui est requise pour pouvoir comprendre en mathématiques est-elle celle qu‘on pratique spontanément dans les autres disciplines, ou en est elle profondément différente ? En mathématiques, l‘activité intellectuelle dépend entièrement de représentations sémiotiques. La mobilisation de représentations sémiotiques y est l‘unique moyen d‘accès possible aux objets mathématiques, comme le montre le paradoxe cognitif des mathématiques. Et toute pratique d‘une activité mathématique avec ou sur des objets consiste en la transformation de représentations sémiotiques. Elle se déroule dans des registres de représentation qui rendent ces transformations possibles et leur ouvrent un champ illimité. Pour le montrer, nous prendrons deux exemples. Le premier est celui de la représentation des nombres naturels. L‘accès à ces nombres mobilise un début d‘articulation entre deux types de représentations et que les opérations que l‘on peut faire dépendent du type de représentation choisi. Le deuxième exemple est une activité de dénombrement avec des configurations polygonales d‘éléments. L‘activité mathématique exige deux types de transformations qui sont cognitivement irréductibles : la conversion des représentations d‘un registre à un autre et les opérations de transformation spécifiques à chaque registre. Les difficultés de compréhension ne viennent pas d‘abord de la complexité épistémologique des concepts mais de ces deux types de transformation qui sont le moteur semiot-cognitif des démarches de pensée. Ils requièrent un apprentissage qui vise explicitement leur développement, en raison de l‘inaccessibilité perceptive et instrumentale des objets mathématiques. Cela nous renvoie à la complexité des phénomènes et des choix pour l‘enseignement des mathématiques. Pour organiser cet enseignement, peut-on s‘en tenir au seul point de vue mathématique ou faut-il prendre aussi en compte le point de vue cognitif ? Et quel rapport entre ces deux points de vue pour décomposer les connaissances mathématiques à enseigner ?