Inicio  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28 

Expansiones decimales

Desde temprana edad hemos aprendido que todo número real x tiene expansión decimal c₀, c₁c₂..., y que esto significa, en el caso que x sea positivo,

x = c₀ + $${\frac{c_{1}}{10}}$$ + $${\frac{c_{2}}{100}}$$ +....

Los dígitos c₁, c₂,... son números naturales entre 0 y 9, mientras que c₀ es un número entero. Por ejemplo,

$${\textstyle\frac{4}{3}}$$ = 1, 333...,  $${\frac{-7}{2}}$$ = - 3, 500...,  $$\pi$$ = 3, 141 592 653 589 793....

Consideremos primero un número real x $\in$ [0, 1[. Vamos a demostrar que efectivamente existe una sucesión de naturales $\left(\vphantom{ c_{n}}\right.$c_n$\left.\vphantom{ c_{n}}\right)$, con c_n $\in$ $\left\{\vphantom{ 0,1,\ldots,9}\right.$0, 1,..., 9$\left.\vphantom{ 0,1,\ldots,9}\right\}$, tales que

$${\frac{c_{1}}{10}}$$ + $${\frac{c_{2}}{10^{2}}}$$ +...+ $${\frac{c_{n}}{10^{n}}}$$ $$\leq$$ x < $${\frac{c_{1}}{10}}$$ + $${\frac{c_{2}}{10^{2}}}$$ +...+ $${\frac{c_{n}+1}{10^{n}}}$$.

En tal caso decimos que x tiene expansión decimal

0, c₁c₂c₃....

Para empezar, debemos tener

$${\frac{c_{_{1}}}{10}}$$ $$\leq$$ x < $${\frac{c_{1}+1}{10}}$$,

o lo que es lo mismo, c₁ $\leq$ 10x < c₁ + 1. Debemos definir entonces c₁ : = $\left[\vphantom{ 10x}\right.$10x$\left.\vphantom{ 10x}\right]$ (la parte entera de 10x). Nótese que esta es la única opción. Luego, habiendo definido c₁, c₂,..., c_{n - 1}, debemos definir c_n tal que

$${\frac{c_{1}}{10}}$$ + $${\frac{c_{2}}{10^{2}}}$$ +...+ $${\frac{c_{n}}{10^{n}}}$$ $$\leq$$ x < $${\frac{c_{1}}{10}}$$ + $${\frac{c_{2}}{10^{2}}}$$ +...+ $${\frac{c_{n}+1}{10^{n}}}$$.

Esto es equivalente a

$${\frac{c_{n}}{10^{n}}}$$ $$\leq$$ x - $$\left(\vphantom{ \frac{c_{1}}{10}+\frac{c_{2}}{10^{2}%% }+\ldots+\frac{c_{n-1}}{10^{n-1}}}\right.$$$${\frac{c_{1}}{10}}$$ + $${\frac{c_{2}}{10^{2}%% }}$$ +...+ $${\frac{c_{n-1}}{10^{n-1}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{c_{1}}{10}+\frac{c_{2}}{10^{2}%% }+\ldots+\frac{c_{n-1}}{10^{n-1}}}\right)$$ < $${\frac{c_{n}+1}{10^{n}}}$$,

lo que significa

c_n $$\leq$$ 10ⁿx - $$\left(\vphantom{ 10^{n-1}c_{1}+10^{n-2}c_{2}+\ldots+10c_{n-1}}\right.$$10^{n - 1}c₁ + 10^{n - 2}c₂ +...+ 10c_{n - 1}$$\left.\vphantom{ 10^{n-1}c_{1}+10^{n-2}c_{2}+\ldots+10c_{n-1}}\right)$$ < c_n + 1.

La única posibilidad es definir

c_n : = $$\left[\vphantom{ 10^{n}x-\left( c_{1}10^{n-1}+c_{2}10^{n-2}+\ldots +c_{n-1}10\right) }\right.$$10ⁿx - $$\left(\vphantom{ c_{1}10^{n-1}+c_{2}10^{n-2}+\ldots +c_{n-1}10}\right.$$c₁10^{n - 1} + c₂10^{n - 2} +...+ c_{n - 1}10$$\left.\vphantom{ c_{1}10^{n-1}+c_{2}10^{n-2}+\ldots +c_{n-1}10}\right)$$$$\left.\vphantom{ 10^{n}x-\left( c_{1}10^{n-1}+c_{2}10^{n-2}+\ldots +c_{n-1}10\right) }\right]$$.

Esto define la sucesión $\left(\vphantom{ c_{n}}\right.$c_n$\left.\vphantom{ c_{n}}\right)$ por recurrencia, de tal forma que r_n = ${\frac{c_{1}}{10}}$ + ${\frac{c_{2}}{10^{2}}}$ +...+ ${\frac{c_{n}%% }{10^{n}}}$ satisface

r_n $$\leq$$ x < r_n + $${\frac{1}{10^{n}}}$$.

Consecuentemente $\left\vert\vphantom{ r_{n}-x}\right.$r_n - x$\left.\vphantom{ r_{n}-x}\right\vert$ < ${\frac{1}{10^{n}}}$ $\rightarrow$ 0, así que r_n $\rightarrow$ x. Claramente, la sucesión $\left(\vphantom{ r_{n}}\right.$r_n$\left.\vphantom{ r_{n}}\right)$ es creciente, pues

r_{n + 1} = r_n + $${\frac{a_{n+1}}{10^{n+1}}}$$ $$\geq$$ r_n, $$\forall$$n $$\in$$ IN.

Además

rn + 1 + ${\frac{1}{10^{n+1}}}$	= rn + ${\frac{a_{n+1}}{10^{n+1}}}$ + ${\frac{1}{10^{n+1}}}$
	$\leq$ rn + ${\frac{9}{10^{n+1}}}$ + ${\frac{1}{10^{n+1}}}$
	= rn + ${\frac{1}{10^{n}}}$.

Esto demuestra que la sucesión s_n = r_n + ${\frac{1}{10^{n}}}$ es decreciente, y además s_n $\rightarrow$ x. A continuación resumimos este resultado:

Teorema 6   Dado un número real x, existe una única sucesión de naturales c_n $\in$ $\left\{\vphantom{ 0,1,\ldots,9}\right.$0, 1,..., 9$\left.\vphantom{ 0,1,\ldots,9}\right\}$ tales que

$${\frac{c_{1}}{10}}$$ +...+ $${\frac{c_{n}}{10^{n}}}$$ $$\leq$$ x < $${\frac{c_{1}}{10}}$$ +...+ $${\frac{c_{n}+1}{10^{n}}}$$, $$\forall$$n $$\geq$$ 1.

Además, la sucesión $\left(\vphantom{ r_{n}}\right.$r_n$\left.\vphantom{ r_{n}}\right)$ definida arriba es creciente y converge a x, mientras que la sucesión $\left(\vphantom{ s_{n}}\right.$s_n$\left.\vphantom{ s_{n}}\right)$ definida por s_n = r_n + ${\frac{1}{10^{n}}}$ es decreciente y converge a x.

Definición 2.7.1   Si $\left(\vphantom{ c_{n}}\right.$c_n$\left.\vphantom{ c_{n}}\right)$ es la sucesión del teorema anterior, se dice que x tiene expansión decimal 0, c₁c₂..., y se escribe x = 0, c₁c₂....

En general, si x > 0 definimos c₀ : = $\left[\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right]$, obteniendo x - c₀ $\in$ [0, 1[. Si la expansión decimal de x - c₀ es 0, c₁c₂..., escribimos x = c₀, c₁c₂....

Ejemplo 2.7.1   Dado x = ${\frac{7}{3}}$, tenemos $\left[\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right]$ = 2, y x - 2 = ${\frac{1}{3}}$ = 0, 333.... Entonces ${\frac{7}{3}}$ = 2, 333....

Finalmente, para hallar la expansión de un número negativo x, se halla primero la expansión de $\left\vert\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right\vert$, y luego simplemente se le coloca el signo ``-''.

Ejemplo 2.7.2   Para x = - ${\frac{8}{5}}$ tenemos $\left\vert\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right\vert$ = ${\frac{8}{5}}$ = 1 + ${\frac{3}{5}}$, y ${\frac{3}{5}}$ =  0, 6. Luego x = - 1, 6.

Nota: Uno se puede preguntar si dada una sucesión cualquiera $\left(\vphantom{ c_{n}}\right.$c_n$\left.\vphantom{ c_{n}}\right)$, con c_n $\in$ $\left\{\vphantom{ 0,\ldots,9}\right.$0,..., 9$\left.\vphantom{ 0,\ldots,9}\right\}$, siempre existe un x cuya expansión decimal sea 0, a₁a₂.... La respuesta es ``casi sí''. Para aclarar esto, tomemos por ejemplo c_n = 9 para todo n. En tal caso r_n = 0, 99...9, donde aparecen n nueves, mientras que r_n + ${\frac{1}{10^{n}}}$ = 1. Nótese que no existe x $\in$ IR tal que

r_n $$\leq$$ x < 1, $$\forall$$n $$\in$$ IN.

Entonces la expansión decimal 0,$\overline{9}$ no representaría ningún número real. Para corregir esto debemos admitir la posibilidad x = r_n + ${\frac{1}{10^{n}}}$, con lo que obtendríamos en particular 0,$\overline{9}$ = 1. Nótese que sin embargo esto implica que no hay unicidad de la representación decimal en ciertos casos. Por ejemplo:

1 = 1, 000...= 0, 999...,  $${\textstyle\frac{1}{2}}$$ = 0, 500...= 0, 499....

Se puede demostrar que los únicos números que poseen dos representaciones decimales, son los racionales que se pueden escribir en la forma ${\frac{k}{10^{n}}}$, para algún k $\in$ IZ y algún n $\in$ IN.

  Inicio  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28