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Completitud de IR

La propiedadad de completitud de IR dice que los números reales ``rellenan la recta numérica'', o que no ``dejan huecos en la recta''. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Pero ¿qué significa esto matemáticamente?. En otras palabras, cómo escribir esto con el lenguaje propio de la teoría de números reales, sin hacer alusión a la interpretación geométrica de éstos como puntos de una recta.

Para tratar de precisar esto, tomemos un punto P en la recta, y consideremos el conjunto A formado por todos los números reales ``ubicados'' a la izquierda de ese punto. Consideremos también el conjunto B formado por todos los números reales ``ubicados'' a la derecha del mismo punto. Tenemos entonces que para x $\in$ A y y $\in$ B se cumple x $\leq$ y. La completitud dice que hay un número real $\alpha$ que corresponde al punto P, y por lo tanto x $\leq$ $\alpha$ $\leq$ y, para todo x $\in$ A y todo y $\in$ B.

 

Interpretación geométrica de la completitud

 

Esto nos sugiere la siguiente forma de axiomatizar la completitud:

Axioma de completitud (versión 1) Sean A y B subconjuntos no vacíos de IR, tales que x $\leq$ y para todo x $\in$ A y todo y $\in$ B. Entonces existe al menos un número real $\alpha$ tal que x $\leq$ $\alpha$ $\leq$ y, para todo x $\in$ A y todo y $\in$ B.

Para aclarar mejor este concepto veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 2.2.1   Si A = $\left\{\vphantom{ x\in I\!\! Q^{+}:x^{2}<2}\right.$x IQ⁺ : x² < 2$\left.\vphantom{ x\in I\!\! Q^{+}:x^{2}<2}\right\}$ y B = $\left\{\vphantom{ x\in I\!\! Q^{+}:x^{2}>2}\right.$x $\in$ IQ⁺ : x² > 2$\left.\vphantom{ x\in I\!\! Q^{+}:x^{2}>2}\right\}$, entonces $\alpha$ = es el único número real que satisface la condición del axioma de completitud.

Ejemplo 2.2.2   Si A =] - $\infty$, 0[ y B = [1, 2], entonces cualquier $\alpha$ $\in$ [0, 1] satisface la condición del axioma.

Ahora consideremos un conjunto A $\subseteq$ IR no vacío, y definamos

$$\in \forall \in \geq$$ (2.1)

Este conjunto B podría ser vacío, veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 2.2.3   Si A = [0, 4[, entonces B = [4, + $\infty$[. El mismo B se obtiene si A =] - $\infty$, 4].

Ejemplo 2.2.4   Si A = [1,$\infty$[, entonces B = $\emptyset$. En efecto, si existiera b $\in$ B, se tendría en particular b $\geq$ 1, así que b + 1 sería elemento de A, y consecuentemente b $\geq$ b + 1, lo cual es imposible.

Cuando B $\neq$ $\emptyset$ decimos que A es acotado superiormente, y a cada elemento de B se le llama cota superior de A. Más precisamente:

Definición 2.2.1   Un conjunto A $\subseteq$ R se llama acotado superiormente si existe b $\in$ IR tal que x $\leq$ b para todo x $\in$ A. En tal caso, se dice también que b es una cota superior de A.

Ejemplo 2.2.5   Retomando los ejemplos anteriores, tenemos que los intervalos [0, 4[ y ] - $\infty$, 4] son acotados superiormente, mientras que el intervalo [1, + $\infty$[ no lo es. En el caso A = [0, 4[, la menor cota superior es b = 4. Lo mismo ocurre en el caso A =] - $\infty$, 4].

Cuando A es acotado, el conjunto B dado por (2.1) es, entonces, el conjunto de cotas superiores de A. En tal caso, el axioma de completitud establece la existencia de un número real $\alpha$ tal que x $\leq$ $\alpha$ $\leq$ y, para todo x $\in$ A y todo y $\in$ B. En particular se tiene x $\leq$ $\alpha$ para cada x $\in$ A, así que $\alpha$ $\in$ B. Como además $\alpha$ $\leq$ y, para todo y $\in$ B, tenemos que $\alpha$ es el menor elemento de B. Es decir, $\alpha$ es la menor cota superior de A, y en particular es único. A este número se le llama el extremo superior de A, o supremo de A, y se denota $\alpha$ = sup A. Esto muestra la versión común del axioma de completitud, que llamaremos axioma del extremo superior. Primero definamos en detalle el concepto de extremo superior:

Definición 2.2.2   Sea A $\subset$ IR acotado superiormente y no vacío. Un elemento $\alpha$ $\in$ IR se llama el extremo superior (o supremo) de A si es la menor de sus cotas superiores. Dicho de otra forma, $\alpha$ es el extremo superior de A si satisface:

(1)

$\alpha$ es cota superior de A.

(2)

Si b $\in$ IR es cota superior de A, entonces $\alpha$ $\leq$ b .

Axioma del extremo superior (versión 2 del axioma de completitud) Sea A un subconjunto no vacío de IR, el cual es acotado superiormente. Entonces existe el extremo superior de A.

Similarmente podemos hablar de acotación inferior, y se demuestra, usando el axioma del extremo superior, que todo conjunto B no vacío y acotado inferiormente, tiene una cota inferior máxima. Tal cota se llama en extremo inferior (o ínfimo) del conjunto B, y se denota por inf B (ver ejercicio 15) .

Ejemplo 2.2.6   Para A = [1, 3] $\cup$ {7} tenemos que $\alpha$ = 7 es cota superior. Además, si b es cota superior de A, como 7 $\in$ A debemos tener 7 $\leq$ b. Esto demuestra que sup A = 7.

Ejemplo 2.2.7   Para A = [0, 1[, tenemos que $\alpha$ = 1 es cota superior de A. Además, si b es cota superior de A, debemos tener b $\geq$ 1. En efecto, primero observemos que b $\geq$ ${\frac{1}{2}}$, pues ${\frac{1}{2}}$ $\in$ A. Luego, si se tuviera b < 1, entonces x = (b + 1)/2 sería un elemento de A, y además x > b, contradiciendo el hecho que b es cota superior de A. Esto demuestra que sup A = 1.

Nota: El ejemplo anterior demuestra que sup A no necesariamente es un elemento de A. Además, el argumento del ejemplo 2.2.6 demuestra que si una cota superior de A pertenece a dicho conjunto, entonces esa cota es el supremo. En tal caso suele usarse también la palabra máximo, y escribir max A en vez de sup A.

La siguiente caracterización del supremo suele ser útil:

Teorema 1   Sea A $\subset$ IR, acotado superiormente y no vacío, y sea $\alpha$ $\in$ IR. Entonces $\alpha$ = sup A si y solo si satisface:

(a)

x $\leq$ $\alpha$, para todo x $\in$ A.

(b)

Para todo $\varepsilon$ > 0, existe x $\in$ A tal que $\alpha$ - $\varepsilon$ < x.

Prueba

Supongamos primero que $\alpha$ = sup A. Entonces $\alpha$ es cota superior, lo que significa que satisface (a). Luego, dado $\varepsilon$ > 0 tenemos $\alpha$ - $\varepsilon$ < $\alpha$, así que $\alpha$ - $\varepsilon$ no es cota superior de A, y consecuentemente debe existir x $\in$ A tal que x > $\alpha$ - $\varepsilon$. Esto demuestra la propiedad (b).

Recíprocamente, supongamos que las propiedades (a) y (b) se cumplen y probemos que $\alpha$ = sup A. Primero $\alpha$ es cota superior por la propiedad (a). Ahora sea b una cota superior de A. Si b < $\alpha$, entonces tomando $\varepsilon$ = $\alpha$ - b > 0 tenemos por hipótesis que existe x $\in$ A tal que x > $\alpha$ - $\varepsilon$ = b, lo cual contradice el hecho que b es cota superior de A. Consecuentemente b $\geq$ $\alpha$, demostrando así que $\alpha$ es la menor cota superior.

El axioma del extremo superior puede usarse para demostrar algunas propiedades básicas de los números reales. Una de ellas es el principio de Arquímedes, que demostraremos a manera de ejemplo:

Lema 2.2.1 (Versión 1 del principio de Arquímedes)   IN no es acotado superiormente.

Prueba

En efecto, si IN fuera acotado, por el axioma del extremo superior tendría supremo $\alpha$ = sup IN $\in$ IR. Pero entonces, por el teorema anterior existiría n $\in$ IN tal que n > $\alpha$ - 1, de donde n + 1 > $\alpha$. Como n + 1 $\in$ IN y $\alpha$ es cota superior, esto es contradictorio.

Corolario 1 (Versión 2 del principio de Arquímedes)   Para x, y $\in$ IR, con y > 0, existe n $\in$ IN tal que ny > x.

Prueba

Supongamos que el resultado falso. Entonces existen x $\in$ IR,  y $\in$ IR⁺, tales que x $\geq$ ny para todo n $\in$ IN. En otras palabras, xy^-1 es una cota superior de IN, lo cual es absurdo debido al lema anterior.

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