Estudio teórico y computacional de métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias

Resumen

La modelación matemática de una gran variedad de fenómenos en la naturaleza se relacionada con ecuaciones diferenciales ordinarias, EDO. A pesar de que en la teoría se presentan algunos métodos analíticos que resuelven diferentes clases de EDO, la cantidad de familias de EDO que pueden ser resueltas analíticamente es bastante restringida, por tanto los métodos numéricos son una excelente opción para encontrar aproximaciones discretas a la solución. En este trabajo se presenta la base teórica de algunos métodos numéricos para resolver una EDO o un sistema de EDO sujeto a una condición inicial, conocido como problemas de Cauchy. Se distingue entre métodos de paso único y métodos de paso múltiple, entre los que se destacan respectivamente, la familia de métodos de Runge Kutta y la de Adams Bashford. Se analiza la deducción de estos y otros métodos, además se presenta un estudio de propiedades teóricas como son la consistencia, convergencia y estabilidad, entre otras. El estudio de estas propiedades es muy importante ya que permiten determinar si la solución numérica obtenida es de buena precisión. Con base a la teoría y a diferentes simulaciones numéricas realizadas, se listan ventajas y des- ventajas al usar los diferentes métodos y se comparan soluciones exactas con aproximaciones en diferentes problemas de Cauchy. Finalmente, se aplican algunos de los métodos estudiados para determinar aproximaciones de un modelo matemático que describe la dinámica de infección del VIH/SIDA presentado en [17]. En este modelo la aproximación numérica es indispensable dado que no posee una solución analítica.