Ense�ar probabilidad en primaria y secundaria? �Para qu� y por qu�?

 

Liliana Jim�nez M. Jos� Rafael Jim�nez F.


 

 

Ense�ar probabilidad en primaria y secundaria? �Para qu� y por qu�?

Liliana Jim�nez M. Jos� Rafael Jim�nez F.
Programa de Maestr�a en Matem�tica Educativa
Universidad de Costa Rica

"Cuando no est� en nuestra mano determinar lo que es verdad, debemos actuar de acuerdo con lo que es m�s probable.''

Descartes

Resumen:

Este trabajo va dirigido a maestros y profesores de Matem�tica. En �l se exponen algunas reflexiones sobre la necesidad de abordar, en nuestros d�as, los conceptos de incertidumbre y probabilidad en la educaci�n primaria y secundaria. Adem�s se proponen algunos modelos de ejercicios que los introducen, con algunos comentarios did�cticos para orientar el proceso.

Por otra parte, se trata de provocar m�s discusi�n acerca de la importancia de ense�ar el tema de probabilidad a nivel tanto de secundaria como de primaria, ya que es reconocido que en el �mbito costarricense, los objetivos de este tema son dejados de lado con mucha frecuencia.

 

Palabras Clave: Incertidumbre, probabilidad, azar en la ense�anza.

 

 

Introducci�n

En los programas de estudio de Matem�tica para segundo y tercer ciclo, del Ministerio de Educaci�n P�blica de Costa Rica (M.E.P.), se incluye entre los contenidos por estudiar, algunas nociones ligadas a los temas de Probabilidad y Estad�stica. Sin embargo es conocido que en repetidas ocasiones estos temas no se cubren, al menos en secundaria. Esto ocurre, entre otras razones, porque el tiempo lectivo que propone el M.E.P. para cubrir los programas a veces resulta insuficiente. Esto �ltimo, aunado al hecho de que dichos temas hasta el a�o 2003 no eran evaluados en las pruebas nacionales de conclusi�n de ciclo, ha provocado que muchos profesores los dejen de lado. Am�n de esto, se puede agregar que muchos docentes no son conscientes de la importancia que puede tener para un estudiante poseer como parte de su cultura un buen manejo de la noci�n de incertidumbre.

Adem�s, podemos decir que, respecto a la ense�anza secundaria, en Costa Rica nos estamos quedando rezagados, en lo que al tema de probabilidad se refiere. Al analizar los planes de estudio vigentes se nota la balanza inclinada hacia los temas tradicionales: aritm�tica, geometr�a, �lgebra y las funciones. Solamente se considera en octavo a�o el estudio de algunos elementos de estad�stica descriptiva elemental y en primaria escasamente dos o tres nociones introductorias al tema.

Por esta raz�n nos hemos propuesto en este trabajo, en primer t�rmino, dilucidar por qu� es importante ense�ar el tema de probabilidad, en la Secci�n 2. En las secciones siguientes se presentan unos modelos de ejercicios y situaciones, acompa�ados de comentarios sobre cu�ndo presentarlos, cu�les intenciones llevan y qu� conceptos se trata de explotar en ellos; en la Secci�n 5 se proponen actividades para la primaria y en la Secci�n 6 para la secundaria.

�Por qu� ense�ar Probabilidad?

La matem�tica sirve para modelar situaciones que se presentan en campos de la vida cotidiana a trav�s de diferentes ciencias como la f�sica, qu�mica, econom�a, biolog�a, etc.; adem�s juega un papel importante en el desarrollo tecnol�gico. De esta manera el saber matem�tico se puede considerar como un instrumento con el que es posible, a trav�s de otras ciencias, reconocer y transformar la naturaleza y la sociedad.

En las �ltimas d�cadas el hombre ha sido testigo del gran incremento en la cantidad de avances cient�ficos y tecnol�gicos en la sociedad moderna, en consecuencia, del cambio que esto ha provocado en el desarrollo industrial, la organizaci�n econ�mica y social de los pa�ses.

Sin embargo, al tratar de modelar los fen�menos de la naturaleza, el hombre se ha encontrado con que hay situaciones que obedecen a un modelo determinista y otras que en cambio obedecen a un modelo aleatorio. Por ejemplo, en el caso de los cient�ficos sociales es m�s dif�cil descubrir principios fundamentales que respondan a la inmensa complejidad de los fen�menos que se proponen estudiar, que para los investigadores de las ciencias naturales explicar las leyes de la ca�da libre. El fen�meno de la "prosperidad'' nacional es a�n m�s complicado. Adem�s de los millones de voluntades y glotoner�as humanas que la esculpen, est�n de por medio los recursos naturales, las relaciones con otras naciones, las perturbaciones causadas por la guerra, entre otras. Sin embargo estas dificultades que agobian a los cient�ficos sociales son parecidas a las que algunas veces sufren los bi�logos, por ejemplo cuando se trata de explicar el funcionamiento del cerebro humano o las leyes de la gen�tica, o los f�sicos cuando tratan de explicar el estado de las part�culas at�micas y subat�micas de la materia.

Como lo se�ala Kline: "Afortunadamente, las ciencias sociales y las biol�gicas han adquirido un m�todo matem�tico, nuevo por completo, de obtener informaci�n sobre sus fen�menos respectivos: el m�todo estad�stico. (...) Sin embargo, con el uso de los m�todos estad�sticos, ha surgido tambi�n el problema de determinar la confiabilidad de los resultados. Este aspecto de la estad�stica se trata por medio de la teor�a matem�tica de la probabilidad.'' (Kline, 1998, p�g 496)

Igualmente, al hacer la planificaci�n de proyectos industriales o el estudio y control de sistemas econ�micos complejos, el hombre se ha visto obligado a explorar y aprender nuevos m�todos que hagan m�s eficiente su manejo. El desarrollo de estos m�todos tambi�n ha contribuido a un aumento de la actividad dentro de ciertos campos de las matem�ticas aplicadas, como por ejemplo, la Probabilidad, la Estad�stica, Teor�a de Colas, Teor�a de Fiabilidad entre otras.

As� mismo se puede agregar, como lo expresa Wakely en el pr�logo al libro de J.C. Turner, Matem�tica moderna aplicada: probabilidades, estad�stica e investigaci�n operativa, el aumento de la capacidad de los computadores ha hecho factible su utilizaci�n para explorar de una manera m�s amplia las implicaciones de los modelos matem�ticos en los diferentes campos econ�micos o tecnol�gicos. Contin�a: "Como resultado de ello, la industria (y en sentido amplio, la naci�n), necesita ahora de las matem�ticas, y del modo de pensar matem�tico, de una manera sin precedentes en la historia. (...) Hoy en d�a un joven ejecutivo no puede considerarse a s� mismo persona culta si no hace m�s que inclinar la cabeza ante estos m�todos.''(Turner, 1981, p�g 9)

Con todos estos cambios, la sociedad se ve inevitablemente obligada a adaptar y reestructurar su sistema educativo, para cumplir con su compromiso de formar a los individuos que la componen. Debe considerar que una persona que vive en esta sociedad moderna debe tener una idea m�s clara de aquellos fen�menos de car�cter aleatorio, ahora m�s que en el pasado, ya que se cuenta con m�s informaci�n acerca de c�mo los cambios en su vida se pueden ver influenciados por ello. Veamos algunos casos que lo ilustran: Cada ma�ana cuando se dirige al trabajo, un individuo tiene la confianza de que llegar�. Sin embargo todos los d�as muchas personas salieron de sus casas y no lo lograron; esto lo conduce a pensar en los riesgos que debe asumir y los eventuales seguros que debe tomar. Al escoger el banco para sus operaciones un individuo espera que �ste tenga solidez; no obstante, todas las decisiones tienen alguna incertidumbre, que se refiere a aquellas situaciones que no se pueden controlar, pero que influir�n en el resultado. Si un joven decide iniciarse en el fumado, hoy d�a existe mucha informaci�n que indica una medida sobre el riesgo de enfermar de c�ncer.

Dacunha en su libro "Chemins de L`Aleatorie. Le hasard et le risque dans la soci�t� moderne.'', se�ala que el azar ha sido un recurso que han utilizado algunas sociedades para resolver diversas situaciones y que en nuestra �poca hasta se ha intentado utilizar en la asignaci�n de empleos. Agrega, hay que aprender a dudar, a reconocer la incertidumbre, a saber que ella es parte del ejercicio de la ciudadan�a. Los ciudadanos deber�an integrar a su juicio la dimensi�n de lo aleatorio, cuando se trata de su responsabilidad individual y de la responsabilidad del estado.

De esta manera, espec�ficamente en lo que se refiere a la ense�anza de la matem�tica, al menos en el nivel de secundaria en nuestro pa�s, se debe incluir en los programas el concepto de aleatorio. Adem�s, ense�ar un conjunto de teor�as que den acceso a los estudiantes a los elementos b�sicos de probabilidades, que le permitan tomar decisiones en su vida cotidiana y contar con una formaci�n m�nima para que puedan desarrollarse desde esa perspectiva en cualquier campo profesional o cient�fico. "La probabilidad tiene la enorme cualidad de representar adecuadamente la realidad de muchos procesos sociales y naturales, y, por lo tanto, su conocimiento permite comprender y predecir mucho mejor el mundo en que vivimos'' (P�rez y otros, 2000, p�g 15). Solo as� se lograr� cumplir con el compromiso de formar un individuo que pueda manejar los conceptos b�sicos del siglo XXI.

 

Pinceladas de historia

Los primeros pasos en la teor�a de las probabilidades fueron dados por el matem�tico y m�dico italiano Jer�nimo Cardano (1501-1576). Se dice que Cardano era un jugador y que inclusive algunas veces estuvo en la c�rcel a causa de sus trampas y piller�as. �l decidi� que si iba a usar su tiempo en juegos de azar, aprovechar�a para aplicar la matem�tica y as� sacar�a provecho de su pasatiempo. Procedi� a estudiar las probabilidades de ganar en varios juegos de azar y public� sus reflexiones de la materia en su libro "Liber De Ludo Aleae'' (El libro de los juegos de azar). "Este libro es un manual del jugador, en el cual se ense�a a hacer trampas lo mismo que a descubrirlas''. (Kline, 1998, p�g 518)

M�s tarde, en 1653, otro jugador y matem�tico, el llamado Caballero de M�r�, se interes� por la relaci�n entre la matem�tica y los juegos de azar. "De talento limitado, remiti� a Pascal algunos problemas sobre el juego de dados. Y �ste, en colaboraci�n con Fermat, hizo avanzar un poco m�s el estudio de la probabilidad. Cardano resolvi� s�lo unos cuantos problemas de probabilidades; Pascal concibi� toda una ciencia. Se propuso reducir a un arte exacto, con el rigor de la demostraci�n matem�tica, la incertidumbre del azar, fund�ndose as� una nueva ciencia que con justicia reclamar�a para s� el asombroso t�tulo de: las matem�ticas del azar. Cardano, Pascal y Fermat llegaron a la probabilidad pasando por los problemas de los juegos de azar.'' (Kline, 1998, p�g 518)

Aunque esta teor�a nace como una aplicaci�n de la matem�tica a los juegos de azar, su estudio se fue profundizando cuando se necesitaron otras aplicaciones. Esto se puede observar en el trabajo de Laplace, con su problema de determinar la exactitud de las observaciones astron�micas o en procesos de muestreo al aplicar algunos m�todos de la estad�stica, que introducen inevitablemente la posibilidad de error. O en la biolog�a con Mendel, en sus trabajos de gen�tica.

Todo trabajo cient�fico depende de la medici�n, pero toda medici�n es aproximada. Los cient�ficos buscan minimizar las inexactitudes haciendo muchas mediciones de una misma cantidad y luego tomando la media de las cantidades medidas. Pero aqu� cabe preguntarse, �cu�n confiable es la media calculada de las mediciones reales?

Kline lo explica de esta manera. "Es deplorable la falta de certidumbre en algunas fases del trabajo cient�fico, pero esto no es un obst�culo insuperable. Muy poco de lo que esperamos que nos ocurra en el porvenir es cierto. �C�mo se procede ante la incertidumbre? Descartes se�al� el curso que seguimos todos, consciente o inconscientemente: "Cuando no est� en nuestra mano determinar lo que es verdad, debemos actuar de acuerdo con lo que es m�s probable.'' En nuestra evaluaci�n diaria de probabilidades, nos contentamos con estimaciones burdas, es decir, con s�lo saber si la probabilidad es alta o baja. Al cruzar una calle hay incertidumbre, pero la cruzamos porque, sin hacer el c�lculo respectivo, sabemos que es alta la probabilidad de sobrevivir al hacerlo. Pero en el trabajo cient�fico y en las empresas de gran envergadura tenemos que hacerlo mejor. Ya no podemos aceptar estimaciones bastas, sino que debemos calcular con exactitud las probabilidades, y aqu� es donde entra en juego la teor�a respectiva.'' (Kline, 1998, p�g 519)

La necesidad de una teor�a de probabilidades surge cuando se estudian experimentos donde interviene el concepto de incertidumbre. Por eso se propondr�n algunas actividades que involucran juegos para acercar al estudiante a las nociones de incertidumbre y probabilidad.

 

Algunas consideraciones generales para una propuesta did�ctica

En las l�neas anteriores se ha comentado la importancia que tiene la probabilidad en el mundo moderno, tanto para el desarrollo cient�fico como para la cotidianeidad de cada persona. Se hace importante entonces considerar cuales son aquellos aspectos en los cu�les se debe fijar la atenci�n para lograr que las probabilidades se inserten en el bagaje cultural de esta sociedad moderna. En Costa Rica, el estudio de las probabilidades se ha restringido fundamentalmente a las aulas universitarias, especialmente para los estudiantes de matem�tica y las ciencias econ�micas. Tambi�n estudian este tema pero en menor grado los estudiantes de ciencias sociales y de ingenier�a.

De aqu� surge la necesidad de plantearse la inserci�n de la probabilidad en la educaci�n general b�sica y el ciclo diversificado. Por supuesto que esto plantea un reto, en el sentido de que ser� un conocimiento nuevo, y que como tal ofrecer� la resistencia de los padres y de las autoridades.

En un primer momento se debe empezar a introducir, ampliar y desarrollar el concepto de "ENSE�ANZA DE LA PROBABILIDAD''. Hace algunos a�os se desarrollaron trabajos de investigaci�n sobre la ense�anza del c�lculo, la ense�anza del �lgebra y de la ense�anza de la geometr�a, haciendo un an�lisis hist�rico y metodol�gico. Le ha llegado el momento a la ense�anza de la probabilidad.

Para desarrollar trabajos de investigaci�n en torno a la ense�anza de la probabilidad, es necesario que se planteen preguntas interesantes cuyas respuestas sea preciso determinar para continuar el estudio de dicho tema. Estas preguntas deben referirse a aspectos fundamentales y tener la amplitud y la profundidad necesarias para que sus respuestas repercutan directamente en el desarrollo de la ense�anza de la probabilidad. Algunas posibles preguntas son:

 

  1. Si se considera el marco filos�fico en que se debe desarrollar la ense�anza de la probabilidad, de acuerdo con la filosof�a de la ciencia y los aspectos hist�ricos, pol�ticos, cient�ficos y religiosos que estuvieron presentes en los or�genes de esta ciencia, �c�mo debe realizarse esa inserci�n en nuestra idiosincrasia?
  2. Desde el punto de vista de la psicolog�a del ni�o y de su desarrollo intelectual, �qu� consideraciones se deben tener al ense�ar probabilidades?
  3. �Debe ense�arse la probabilidad en forma aislada, o conviene integrarla con otras ramas de la matem�tica como la teor�a de n�meros, la geometr�a, el �lgebra y la trigonometr�a?
  4. Cu�les son aquellos conceptos matem�ticos que tienen un car�cter de herramienta (Douady, 1995, p�g 63) en el estudio de las probabilidades?
  5. �Cu�les son los conceptos de probabilidades que deben ense�arse en primaria y secundaria? y �en qu� forma deben distribuirse?
  6. �Qu� caracter�sticas deben tener los materiales que sirvan de apoyo en el trabajo de aula, tales como libros, dados, esferas, barajas, tablas, calculadoras, software?
  7. �Cu�l es la formaci�n que se debe brindar a los futuros profesores de probabilidades?
  8. �Qu� peso debe tener la probabilidad en los curriculos de matem�tica de secundaria y de primaria?

 

 

En las dos secciones siguientes, se expondr�n algunos ejercicios que al docente le podr�an servir de modelo para generar otras actividades tendientes a introducir algunos de los conceptos de la teor�a de las probabilidades y a desarrollar la noci�n de incertidumbre. Para una mayor comprensi�n se dividir�n las actividades en: actividades para la escuela primaria y actividades para la escuela secundaria. Se procurar� no entrar en mucho detalle en cada actividad, sino plantearlas en forma general haciendo consideraciones metodol�gicas para el profesor y adapt�ndolas al desarrollo intelectual del alumno.

 

Actividades para la primaria

La escuela primaria debe ser el lugar donde el estudiante se enfrente por primera vez a la probabilidad. Los docentes encargados deben tener la suficiente solidez en su formaci�n para poder desarrollar adecuadamente esta tarea --aunque pareciera que son ellos quienes tienen m�s deficiencias en su formaci�n sobre probabilidades--. Es importante que �stos tengan un dominio b�sico de la aritm�tica, de las fracciones, comprendan las operaciones b�sicas de la teor�a de conjuntos, reconozcan si una variable es cualitativa, discreta o continua, interpreten gr�ficas y tablas de datos, comprendan modelos sencillos de experimentos aleatorios y planteen distintas actividades que ilustren esos modelos. Deben tambi�n los maestros, tener la capacidad de hacer una ubicaci�n hist�rica, sencilla pero cierta, de las probabilidades, adem�s de una idea clara de sus aplicaciones, de manera que �stas no resulten una amenaza para el entorno del estudiante, y se eliminen prejuicios. Esto �ltimo se podr�a lograr si se motiva al alumno con actividades en forma de juegos, pero adem�s, si se indica la importancia de las probabilidades en el mundo actual, tales como los seguros, la salud, los negocios o la asignaci�n de empleos.

Una propuesta de actividades did�cticas para la primaria

Utilizando colores

Actividad 1.
 
El maestro muestra a los alumnos cuatro bolas distintas solo en sus colores. Las coloca en una caja y dice a los estudiantes que "sin ver'' se seleccionar� una bola. Pero que antes quiere saber cu�l bola piensan los estudiantes que saldr�. Anota en la pizarra los distintos colores y al lado escribe el n�mero de alumnos que creen que ese color corresponde a la bola que saldr� seleccionada. Se realiza el experimento y se escuchan comentarios de los estudiantes acerca de por qu� raz�n se obtuvo ese color. En el momento de los comentarios es importante que el maestro apoye aquellos que tienen un sentido relacionado con el azar y rechace de una manera sencilla aquellos que tiendan a asignar motivaciones no aleatorias en los resultados. Se devuelve la bola a la caja. Luego se repite el experimento, sin hacer la primera parte, un n�mero grande de veces (preferentemente un n�mero m�ltiplo de cuarto, ya que en esta etapa no se van a calcular razones y se puedan comparar r�pidamente las proporciones) y se va registrando en la pizarra el n�mero de veces que se obtuvo cada color. Finalmente se comentan los resultados que se obtienen.

Actividad 2.
 
Se trata de repetir la actividad anterior pero con dos de las cuatro bolas de igual color, es decir hay tres colores y cuatro bolas. Antes de realizar la primera selecci�n se debe notar si los estudiantes se dan cuenta que ahora hay un color que "puede salir m�s veces''. Una vez realizado el experimento conviene escribir en la pizarra algunos comentarios como "el color que estaba repetido sali� m�s veces ...'', "todos los colores salieron ...'', etc.

Actividad 3.
 
El maestro entrega a los alumnos una hoja en la cual est� descrito el experimento. Se tiene una caja con cinco bolas de diferentes colores: roja-verde-azul-amarilla-negra. Se extrae una bola y se anota el color. �Cu�l cree usted que saldr�? Si se realiza el experimento 20 veces �cree usted que hay alguna bola que saldr� m�s veces?. Nuevamente, lo importante es considerar aquellos comentarios que tienen un sentido relacionado con el azar.

Actividad 4.
 
El maestro entrega a los alumnos una hoja donde se describe el experimento: Se tiene una caja con cinco bolas: cuatro rojas y una amarilla. Se pueden repetir entonces preguntas similares a las anteriores y se puede pedir al ni�o que haga dibujos que ilustren su respuesta.

Comentarios de las actividades

En estas actividades se busca iniciar al alumno con experiencias aleatorias, de manera que pueda decir cu�les son los posibles resultados y cu�les pueden ocurrir con m�s frecuencia, usando recursos de f�cil manejo y atractivos para el ni�o.

En las actividades 1 y 3 los eventos simples son equiprobables, mientras que en la actividad 2 no lo son. En la actividad 4 el ni�o debe seguir el modelo de las actividades anteriores pero el experimento es mental, en el sentido que el texto le describe la experiencia pero no tiene la presencia f�sica de la caja con las bolas.

 

Combinando nombres

 

Actividad 1.
 
El maestro escribe en el pizarr�n los nombres de cinco personas y pregunta a los ni�os. "�Si se quiere escoger un comit� de tres personas que representen a estos ni�os, de cu�ntas formas podemos hacerlo?''. Una vez que se han escuchado algunas opiniones se les pide que digan posibles escogencias y se van anotando en la pizarra, teniendo el cuidado de que no queden repetidas. Es importante que en alg�n momento de la actividad se establezca que el orden no interesa, es decir que tres nombres en diferente orden representan el mismo comit�. En este caso un problema que se plantea es c�mo determinar cuando se tienen todos los resultados posibles para garantizar que se tienen todas las posibilidades. Si no se oyen sugerencias, conviene entonces que el profesor plantee a los estudiantes una t�cnica para formar estos comit�s. Una de ellas podr�a ser fijar un nombre, y luego escoger el segundo y el tercero. Es muy importante que en este nivel el profesor no d� f�rmulas, para que el alumno logre construir resultados.

Actividad 2.
 
Otra actividad que conviene plantear como variante del caso anterior es aquella donde se asignar�a a cada uno de los miembros del comit� una determinada tarea que podemos llamar P=presidente, S=secretario y T=tesorero. Llamaremos a estos grupos directivas. La fase donde se establecen los resultados podr�a ser semejante a la realizada en la actividad anterior. Sin embargo conviene tambi�n desarrollarla en el sentido de que cada comit� permite obtener un cierto n�mero de directivas; as� el profesor podr�a pedir inicialmente a los estudiantes que digan cu�les directivas se pueden obtener del comit� formado por Mario-Carmen-Ana. Se esperar�a que el estudiante haga todas las ordenaciones posibles con estos tres nombres y obtenga que el resultado es seis directivas. Observe que del grupo de cinco personas se podr�an obtener sesenta directivas en total. Tratar de obtenerlas todas tal vez sea dif�cil, lo importante es que los estudiantes se den cuenta que en el caso de la actividad anterior el orden en la terna no importa, en cambio en esta actividad el orden de la terna s� importa.

Actividad 3.
 
El maestro les pide que formen grupos de tres personas y le entrega una hoja a cada alumno. En �sta se indican seis nombres y se les pide que determinen cuantos comit�s de cuatro personas se pueden formar con esas seis personas. La idea es que el alumno solo diga cu�ntos. El diagrama de �rbol funciona bien en este caso.

Actividad 4.
 
Una vez realizada la actividad anterior conviene que los alumnos establezcan el n�mero de directivas de cuatro personas que se pueden formar de esas seis personas.

Actividad 5.
 
Otra actividad que se puede desarrollar es pedir a cuatro alumnos que se coloquen frente al grupo uno al lado del otro. Una vez all� se les pide que se ordenen de distintas formas. Otro alumno escribir�a en la pizarra cada uno de los resultados. Se esperar�a que puedan establecer el resultado para la siguiente interrogante. "�De cu�ntas formas se pueden ordenar cuatro personas?''

Luego el profesor podr�a plantear las preguntas: "�De cu�ntas formas se pueden ordenar cinco personas?'' "�De cu�ntas formas se pueden ordenar seis personas?''

Conviene que el grupo generalice un m�todo para poder contestar esas preguntas para cualquier n�mero de alumnos.

Comentarios de las actividades

Las t�cnicas de conteo permiten al estudiante reconocer un universo de eventos donde debe trabajar. Este es un elemento necesario para que �l pueda llegar a establecer una asociaci�n entre un determinado evento y una medida de la incertidumbre. En espacios de probabilidad discretos, para asignar una medida a la incertidumbre de un cierto fen�meno aleatorio, se requiere determinar el n�mero de eventos favorables entre la totalidad de eventos posibles.

De esta manera se hace necesario desde la primaria introducir a los estudiantes a las diferentes t�cnicas de conteo, aunque no se llegue a formalizar la teor�a. As� se ir�n desarrollando las estructuras mentales necesarias para etapas posteriores donde s� se requiere de la formalizaci�n de resultados, trabajo que por cierto algunos investigadores han se�alado como dif�cil de enfrentar para los estudiantes.

Andr� Antibi, en su libro Did�cticas de las Matem�ticas. M�todos de Resoluci�n de Problemas[1], se refiere a esta problem�tica. Muestra el grado de dificultad que presentan, tanto para profesores como estudiantes desde los liceos, los problemas de conteo. Se�ala que dichos problemas tienen al menos dos puntos en com�n: a menudo no se est� seguro de su resultado y por otro lado muchas veces resultan dif�ciles.

Con las actividades mostradas en esta secci�n, se busca que el alumno se inicie en t�cnicas de conteo y a la vez que en el proceso se institucionalice --desde el punto de vista de la teor�a de las situaciones de Brousseau-- un procedimiento que �ste pueda utilizar, adem�s de distinguir las condiciones en las cu�les se aplica.

Usando dados

El uso de los dados en la escuela primaria plantea el inconveniente que el alumno confunde el nombre del evento con la frecuencia de la ocurrencia. As�, puede ocurrir que si se lanza un dado el alumno crea que un 5 puede obtenerse con frecuencia cinco sobre seis. Es por esto necesario que se trabaje con dados que tengan en sus caras colores, dibujos de animales, ciudades, pa�ses, palabras, alimentos, h�bitos, actividades, etc. Esto permitir�a al maestro desarrollar actividades donde el ni�o lance el dado y pueda realizar una actividad complementaria. Por ejemplo, si sale "Argentina'', decir cu�l es la capital. O si sale "dormir'' el ni�o simula que duerme y el maestro aprovecha para hacer un comentario sobre la importancia del sue�o. As� aparece el dado y el azar como un recurso del aula que permite utilizarse en otras actividades. Es importante tambi�n desarrollar actividades como "lance dos dados y diga el resultado de multiplicar los dos n�meros de las caras''.

Comentarios generales de las actividades propuestas

  • En general, no es necesario que en primaria se den definiciones de t�rminos o se enuncien resultados formalmente. M�s bien conviene ofrecer al alumno actividades que le permitan desarrollar las estructuras mentales necesarias que lo lleven a comprender los conceptos de las probabilidades.

  • Conviene trabajar con atributos de cosas o personas, de manera que la frecuencia de que ocurra un evento no se confunda con el evento mismo.

  • El maestro puede proponer actividades como "dibuje los resultados posibles'' o "coloree las distintas formas en que puede ocurrir'', para asegurarse que el ni�o est� entendiendo el proceso.

  • El profesor debe plantear actividades que puedan realizarse en grupos peque�os y que luego puedan ser analizadas en general.

  • Lo importante es que el alumno desarrolle t�cnicas y m�todos para resolver distintos problemas y no que utilice f�rmulas.

  • Es muy importante que el maestro planifique las actividades integrando otras �reas del curr�culo.

  • La improvisaci�n de actividades en el aula debe evitarse pues puede caerse en resultados de dif�cil manejo.

  • Es importante tener siempre presente, "que la caracter�stica com�n de los fen�menos que estudia la probabilidad es que en ellos se observa la ocurrencia de algo (...), y en este contexto, experimentar equivale a observar.'' (P�rez y otros, 2000, p�g 31)

Actividades para la secundaria

Se propone que se ense�en los siguientes contenidos agrupados de la siguiente manera:

  1. T�cnicas de conteo y an�lisis combinatorio.
  2. C�lculo de probabilidades de variables aleatorias discretas.
  3. C�lculo de probabilidades de variables aleatorias continuas.

 

El tema 1 se puede desarrollar en s�timo y octavo, el tema 2 en noveno y d�cimo, y el tema 3 en und�cimo a�o.

 

Una propuesta de algunas actividades did�cticas para la secundaria

 

En esta secci�n se presentar�n modelos de ejercicios ilustrativos para introducir el tema de probabilidades en secundaria. No se va a entrar en detalles en �stos, porque alargar�a demasiado la exposici�n, dada la densidad del tema.

La idea es que en este nivel, aprovechando los conceptos y habilidades que traen los estudiantes de primaria, se vayan introduciendo las definiciones y teoremas necesarios para la comprensi�n de la teor�a de probabilidades, formalmente.

Es muy importante dejar claro, en las primeras discusiones, que los fen�menos estudiados por la probabilidad cumplen con las siguientes caracter�sticas:

 

  1. Se conocen todos los posibles resultados antes de realizar el experimento.
  2. No se sabe cu�l de los posibles resultados se obtendr� en un experimento en particular.
  3. experimento puede repetirse. (P�rez y otros, 2000, p�g 31)

     

T�cnicas de conteo

 

Actividad 1.
 
El profesor divide al grupo en subgrupos de cuatro estudiantes.

Les pide a los alumnos que asignen cargos a cada uno de los miembros del grupo:
P = presidencia, S = secretar�a, F = fiscal�a, T = tesorer�a.

Cuando ya hayan hecho la asignaci�n de cargos, les pide que den otra nueva asignaci�n.

Despu�s de que todos los grupos ya hicieron la asignaci�n les pide que hagan todas las posibles asignaciones, es decir que escriban todas las posibles formas de asignar los cargos.

Una vez que todos los grupos consideren que finalizaron el trabajo se hace una comparaci�n del n�mero de resultados que todos los grupos hicieron.

Se debe establecer un resultado general.

 

Actividad 2.
 
El profesor muestra a los alumnos una caja con tres bolas distintas solo en el color --R: roja, B: blanca, A: amarilla--. Pide a un estudiante que seleccione una bola, anota la letra que corresponde al color. Devuelve la bola. La acci�n se repite dos veces m�s. El profesor dice a sus alumnos que este tipo de experimento se denomina "tres extracciones con reemplazo''. Luego les dice: "Escriban en sus cuadernos todos los tipos de resultados que se podr�an obtener''. Cuando ya los hayan realizado, pregunta: "�Cu�ntos resultados se obtuvieron?'' Conviene que aquellos estudiantes que no obtengan una respuesta correcta revisen cu�les consideraciones no hicieron.
 

C�lculo de probabilidades de variables aleatorias discretas

 

Actividad 1.
 
Se divide en tres pasos.
  1. Se asignan dos n�meros distintos entre 1 y 6 a cada uno de tres estudiantes. Por ejemplo: Estudiante A: 1 y 4. Estudiante B: 2 y 5. Estudiante C: 3 y 6.

    Un estudiante lanza un dado. Se asigna un punto a aquel estudiante que tiene el n�mero que tiene la cara superior del dado. El ganador del juego es aquel que logre primero sumar 5 puntos.

  2. Se les pide que repitan el juego tres veces. (Pueden cambiar de n�meros si lo desean)
  3. Se entrega una hoja con las siguientes preguntas:

     

    i) Antes de lanzar el dado, �cu�l de todos los jugadores tiene mayor posibilidad de obtener el punto?
    ii) �Cu�l es el n�mero m�nimo de veces que se debe lanzar el dado para obtener un ganador?
    iii) �Cu�l es el n�mero m�ximo de veces que se debe lanzar el dado para obtener un ganador?
     

Actividad 2.
 
 
Se escriben los n�meros 1, 2, 3 en un papel. En otro se escribe 4, 5 y el 6 en otro papel. Cada estudiante selecciona un papel de modo que obtenga una asignaci�n de n�meros: Estudiante A: 1, 2, 3. Estudiante B: 4, 5. Estudiante C: 6.

Se repite el juego de la actividad 1 con las mismas reglas. Se agrega una pregunta:

iv) �Por qu� considera que se obtuvo este ganador?

 

Actividad 3.
 

Se lanza un dado numerado del 1 al 6 y se observa el n�mero de la cara superior.
  1. Anote cu�les son los resultados que se pueden obtener.
  2. Interesa observar si el n�mero obtenido es m�ltiplo de 3. �Cu�les resultados son favorables a este suceso?
  3. Analice el siguiente resultado: "El n�mero obtenido es un divisor de 30'' �Cu�l fue ese n�mero?
  4. �Es posible el siguiente suceso: "El n�mero obtenido es un m�ltiplo de 7''?
  5. Cuando un suceso no ocurre con ning�n resultado se llama "evento imposible''. D� un ejemplo de otro evento imposible.
  6. �Puede obtenerse un n�mero que sea par y menor que 5? Indique con cu�les resultados ocurre este suceso.

 

Actividad 4.
 
 
Hay cuatro jugadores que tienen un cart�n con n�meros y lanzan seg�n su turno dos dados. Si el total de los dados es un n�mero del cart�n el jugador coloca una ficha sobre �ste y contin�a otro jugador. Gana aqu�l que complete una fila o columna antes que los otros jugadores.

7 9 5
8 * 3
6    10  4 
6 9 7
4 * 3
10 11 12
8    5 7
3 * 10
4 11 2
11    9 12
3 * 10
2 4 5

 

 

Es importante que el estudiante conjeture con cu�l de los cartones podr�a tener m�s �xito. Para esto el profesor debe orientarlo para que analice la probabilidad de que se obtenga cada uno de los n�meros y tambi�n observe su correspondiente posici�n en el cart�n. No es lo mismo que aparezca en un cart�n una fila o columna con el 6, 7 y 8, que tener estos mismos n�meros desordenados en el cart�n. o que no aparezcan estos n�meros del todo.

 

Actividad 5.
 
Suponga que se tienen dos dados que se lanzan para anotar el total $X$ de la suma de las caras superiores.

 

  1. �Es posible obtener $X=1$$X=14$? Explique.
  2. Escriba todos los resultados posibles que se pueden obtener.
  3. �De cu�ntas formas distintas se puede obtener $X=6$?
  4. Complete la primera tabla (la tabla cruzada), escribiendo en cada casilla el total, $X$, que se obtiene al sumar los n�meros que corresponden a la fila y a la columna. En la segunda tabla, escriba el n�mero de veces que ocurre $X$ (la frecuencia $f$), usando sus resultados en la tabla 1:

 

  1 2 3 4 5 6
1            
2     5      
3            
4            
5            
6         11  
 
$X$ $f$
2  
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  
11  
12  

 

  1. Suponga que se van a lanzar dos dados. Hay tres jugadores y usted debe escoger de primero un n�mero de los posibles que se obtendr�an al sumar. Cada jugador escoge un n�mero distinto. Ganar� aqu�l que tiene el n�mero que sale en la suma.

         i. �Cu�l n�mero escoger�a usted? Explique.

         ii. Si antes que usted los otros jugadores escogieron el 7 y 8, �cu�l escoger�a usted? Explique.

 

Actividad 6.
 

Definici�n "Un fen�meno es aleatorio si se conocen todos los resultados posibles, pero no se puede decir con seguridad cu�l de ellos ocurrir� en un caso particular'' (P�rez y otros, 2000, p�g 27)

Indique si los siguientes sucesos son aleatorios.

  • Punto cardinal por donde saldr� el sol ma�ana.
  • El marcador de un partido de f�tbol antes de que inicie el partido.
  • Lado por el que circulan los autom�viles en una carretera de dos v�as en Costa Rica.
  • El art�culo que se compr� result� defectuoso.
  • Color de la luz en un sem�foro que sigue despu�s del color verde.
  • El resultado de un dado que se lanza.
  • Que un fumador muera de enfisema pulmonar.

     

D� un ejemplo de:

a) Una situaci�n de la vida cotidiana cuya ocurrencia dependa del azar.

b) Un hecho cient�fico cuya ocurrencia es aleatoria.

c) Un hecho de la vida cotidiana cuya ocurrencia parece ser aleatoria pero no lo es.

d) Un hecho cient�fico cuya ocurrencia parece ser aleatoria pero no lo es.

 

Conclusi�n

Una manera de contribuir a mejorar la ense�anza de la teor�a de las probabilidades en nuestro pa�s, es por medio de la investigaci�n. Las interrogantes planteadas en la Secci�n 4 de este trabajo deber�an desarrollarse en proyectos de investigaci�n o acci�n social, o bien, en tesis de licenciatura o maestr�a, dada la necesidad de aclarar dichos puntos.

Por otro lado, si se busca que una propuesta acerca de profundizar m�s en la ense�anza de la teor�a de las probabilidades en Costa Rica tenga �xito, es indispensable que las instituciones de educaci�n superior tomen el asunto en sus manos, tanto apoyando investigaciones como las que se proponen en este trabajo, como con la labor de impulsar planes de capacitaci�n en dos direcciones: una para formar a los docentes que nunca estudiaron los temas de Probabilidad y Estad�stica; otro que ayude a refrescar a los que olvidaron estos temas.

Adem�s, se hace necesario incluir cursos espec�ficos de Probabilidades en el plan de estudios de los maestros de primaria en el que se brinde todo lo necesario para que se desenvuelvan con soltura. As� mismo, es importante tener en consideraci�n que el futuro maestro o profesor se forme tambi�n en cuanto a la historia de la matem�tica, en este caso, espec�ficamente en el �rea de la Probabilidad. Deben conocerse los principales aportes de los matem�ticos en este campo, cu�les problemas se estudiaron y de qu� manera los enfrentaron, ya que esto podr�a facilitar su comprensi�n.

Por �ltimo, dado que la Teor�a de Probabilidades cl�sicamente usa el lenguaje de la Teor�a de Conjuntos, es importante que esta �ltima se retome en los planes de estudio de matem�tica, tanto en la formaci�n de docentes como en los programas oficiales. El estudio conjunto de algunos conceptos podr�a ser beneficioso para los estudiantes.

 

Bibliograf�a

 

1 Antibi, A. (2000) "Did�ctica de las Matem�ticas. M�todos de Resoluci�n de Problemas''. Editorial de la Universidad de Costa Rica, Serie Cab�car, San Jos�, p�g. 128-147.
2 Brousseau, G. (1986) "Fundamentos y m�todos de la did�ctica de las matem�ticas'', Recherches en Didactique des Math�matiques, Vol 7, N$^{\circ}2$, p�g. 33-115. Traduci�n al espa�ol por Centeno, J.; Melendo, B.; Murillo, R.
3 Dacunha-Castelle, D. (1996) Chemins de L'Aleatorie. Le Hasard et le Risque dans la Soci�t� Moderne. Flammarion, Paris
4 Douady, R. (1995) "La ingenier�a did�ctica y la evoluci�n de su relaci�n con el conocimiento'', Ingenier�a Did�ctica en Educaci�n Matem�tica. Un esquema para la investigaci�n y la Innovaci�n en la Ense�anza y Aprendizaje de las Matem�ticas. G�mez P., editor. Grupo Editorial Iberoam�rica, Bogot�, p�g. 61-96
5 Kline, M. (1998) Matem�ticas para los Estudiantes de Humanidades. Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog�a, Fondo de Cultura Econ�mica, M�xico.
6 Ministerio de Educaci�n P�blica (C.R.). (2001) Programa de Estudios, Matem�tica, II Ciclo. Imprenta Nacional, San Jos�.
7 Ministerio de Educaci�n P�blica (C.R.). (2001) Programa de Estudios, Matem�tica, III Ciclo. Imprenta Nacional, San Jos�.
8 P�rez, B. R.; Castillo, A.; De los Cobos, S. (2000) Introducci�n a la Probabilidad. Universidad Aut�noma Metropolitana, Unidad Iztapalapa, M�xico.
9 Turner, J.C. (1981) Matem�tica Moderna Aplicada. Probabilidades, Estad�stica e Investigaci�n Operativa. Versi�n espa�ola de Andr�s Ortega. Alianza Editorial, Madrid.
10 Sitio Web: almez.pntic.mec.es/-agos0000/cardano.html, 15 de abril, 12:00 m.d.

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