Matrices con entradas enteras e inversa con entradas
enteras
Walter Mora F.
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica
Resumen
Algunos artículos publicados en The American Mathematical Monthly
discuten acerca de la construcción de matrices con entradas
enteras, valores propios enteros y vectores propios con
componentes enteras, en particular en [1] se hace una
construcción que además permite construir, de manera sencilla,
matrices con entradas enteras cuya inversa también tiene
entradas enteras. En este artículo trata de estas últimas
construcciones e incluye software en Java para generar y
modificar ejemplos y para hacer operaciones de cálculo
de la inversa de una matriz.
Palabras clave: Matrices, inversas, vectores y
valores propios, operaciones elementales,matrices elementales, software didáctico, applet, Java.
Introducción:
Cuando se introducen las matrices en los cursos de álgebra
lineal es a menudo conveniente dar ejemplos numericamente
simples, para centrarse en el manejo de conceptos. Por esto es
veces deseable operar con números enteros y poco con fracciones,
para evitar equivocaciones de índole operacioneal. En este
artículo vamos a dar unas cuantas recetas, siguiendo [1], de
cómo obtener
una buena variedad de ejemplos y de cómo modificarlos.
Construcción:
Consideremos un polinomio
con
. La matriz
es llamada la matriz compañera de y se tiene que
es el polinomio característico de
y también su
polinomio mínimo.
consideremos los valores propios (complejos)
de con
multiplicidad
respectivamente. Supongamos que
Para cada de multiplicidad se definen
vectores columna
de la siguiente forma
Al conjunto
se le llama Cadena de
Jordan asociada a
Por ejemplo, para tendríamos vectores columna
Para cada valor propio ,
. Se tiene por tanto
y para
Finalmente, se tiene
Teorema:
Sea
es una matriz compañera
con valores propios
con
multiplicidad algebraica
respectivamente. Sea
la cadena de
Jordan asociada a ,
la cadena de Jordan asociada a ,y así sucesivamente
hasta llegar a . Entonces para la matriz
se cumple
a.) |
donde es la forma canónica de
Jordan de
.
|
b.) |
Si solo tiene los valores propios enteros
y además estos valores propios
difieren en , entonces y su inversa tienen entradas
enteras
|
Observemos que si tomamos los 's enteros y los 's
enteros y positivos, entonces podemos determinar la matriz
compañera , siguiendo la construcción inicial, y
tendría
entradas enteras y valores y vectores propios enteros.
Modificar con operaciones elementales:
Si se obtiene de por medio de la operación elemental
(La barra indica que se modifica la fila
), es decir,
, entonces
la matriz elemental sería de la forma
(si ). Además, en este caso
Como se ve, si entonces y su inversa tendrían
entradas enteras.
Se sabe que si
entonces
De ahí que, una vez construida (con entradas enteras), se
pueden aplicar a operaciones elementales de la forma
y la matriz resultante
tendrá
entradas enteras y también inversa con entradas enteras.
En particular si ponemos y si
entonces se obtiene modificando la columna y
la columna de 
Ejemplos:
- En el caso
, los dos valores propios deberán
tener multiplicidad , si ponemos
y
entonces
- En el caso
, uno de los valores propios deberá
tener multiplicidad y el otro multiplicidad , si ponemos
y
con y entonces
- Si ponemos
se obtiene
- Si ponemos
y si le aplicamos a las operaciones
y
de manera consecutiva, obtenemos en cada aplicación, lo siguiente
Software:
Este artículo incluye dos programitas (applets)
en Java. El primero nos permite crear matrices con su respectiva
inversa y nos permite modificar con
operaciones elementales. Para esto solo necesitamos indicar el valor de ,
en el campo de texto respectivo. Este programita permite generar el texto LaTeX
de las 4 matrices.
> Correr
el programa
> Descargar
el programa
El segundo es un programita para aplicar
operaciones elementales a una matriz con entradas enteras o fracciones (únicamente).
> Correr
el programa
> Descargar
el programa
Bibliografía:
- 1.
- Gilbert, R. "Companion Matrices with Integer Entries and
Integer Eigenvalues and Eigenvectors". American Mathematical
Monthly.
December, 1988.
- 2.
- Renaud, J. C. "Matrices with Integer Entries and
Integer Eigenvalues". American Mathematical Monthly.
March, 1983.
- 3.
- Noble, B. Daniel, J. "Algebra Lineal Aplicada".
Prentice-Hall, 1989.
|