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6. Glosario
Acotado (conjunto):
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(a) Si A est� contenido en un conjunto ordenado X, se dice que A es acotado superiormente (inferiormente) si admite una cota superior (inferior) en X.
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(b) Si A est� contenido un un espacio m�trico (X,d), entonces A es acotado si
{ d(x,y) | x, y
 A } es acotado superiormente en IR.
Campo -cuerpo- (totalmente) ordenado:
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Se dice que (K, +, �,  ) es un campo (totalmente) ordenado si (K, +, �) es un campo en el sentido algebraico usual, (K,
) es un conjunto (totalmente) ordenado, y para todos los a, b, c
K se cumple:
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(i) a b  a + c b + c, y
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(ii) 0 a, 0 b 0 a � b.
Cota:
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Si (X, ) es un conjunto ordenado, c
X y A  X, entonces c es una cota superior (inferior) de A si para todo x
A se cumple x c (c x).
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Extremo superior:
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Si (X, ) es un conjunto ordenado, b
X y A X, entonces b es el extremo superior de
A (b = supA) si:
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(i) b es cota superior de A, y
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(ii) cualquier otra cota superior de A es mayor que b
(en IR, esta condici�n es equivalente a que  
> 0, b-
no es cs de A).
Una formulaci�n equivalente es decir que supA es la menor de las cotas superiores de A.
Ordenado (conjunto):
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Si X es un conjunto y es una relaci�n reflexiva y transitiva en X � X, entonces (X,
) es un conjunto preordenado.
Si adem�s es antisim�trica entonces (X, ) es un conjunto ordenado.
Y si adem�s, para cualesquiera x, y X se cumple x
y � y x, entonces (X, ) es totalmente ordenado.
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Topolog�a del orden:
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Si (X, ) es un conjunto totalmente ordenado, la topolog�a del orden
en X es la generada por los conjuntos de la forma ]- , a[ = { x
X | x < a } y los de la forma ]a,[ = { x
X | a < x }, para a X.
Es decir, los abiertos son las uniones de conjuntos de la forma ]a,b[ = { x
X | a < x < b }, para a, b
X.
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