3. El teorema central

El siguiente teorema constituye la parte central de este art�culo. Recuerde que todo lo que se sabe de IR es que es un campo totalmente ordenado.


Teorema: Las siguientes cinco afirmaciones son equivalentes:

(a) IR es orden-completo (AES)

(b) IR es conexo

(c) IR es HB

(d) IR es arquimediano y completo

(e) IR es arquimediano y cumple la propiedad de Cantor.

Es bien sabido que (a) implica las otras cuatro afirmaciones. Lo que haremos en este art�culo es probar los rec�procos. Es decir, probaremos el AES de cuatro maneras distintas.

El plan de demostraci�n es, simplemente, (b)(a), (c)(a), (d)(a) y (e)(a). Posiblemente no sea �ste el camino m�s corto, pero creo que s� es bastante ilustrativo.

En cada caso supondremos que A IR es no vac�o y acotado superiormente, y demostraremos que A tiene extremo superior.

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