... Neper^2.1

Neper, John. Matemático escocés, nacido en 1550. Mientras estaba en la universidad, se unió al Movimiento de Reformación en escocia, y en los años posteriores tomó un papel activo en cuestiones políticas de protesta. En 1593, escribe una obra considerada la primera interpretación escocesa de la Biblia. Se le conoce principalmente como el inventor del primer sistema de logaritmos, lo cual describe en su obra Canomis Descriptio (1614). El logaritmo natural (de base e) que utilizamos hoy, es llamado a veces logaritmo neperiano, aunque Neper nunca usó el número e como base. Desde este punto de vista, el logaritmo natural sería más atribuible a Bürgi, quien utilizó si saberlo la base

$$\left(\vphantom{ a+\frac{1}{10^{4}}}\right.$$a + $${\frac{1}{10^{4}}}$$$$\left.\vphantom{ a+\frac{1}{10^{4}}}\right)^{10^{4}}_{}$$

que está relativamente cerca de e.

Neper fue uno de los primeros en usar el punto decimal para expresar fracciones, de una manera sistemática, y de acuerdo con el sistema moderno de notación decimal. Su descripción de la función logarítmica consistía en considerar dos puntos M y N miviéndose simultáneamente sobre dos rectas, el primero a velocidad constante, y el segundo a una velocidad proporcional a su desplazamiento. Neper definió la abscisa de M como el logaritmo de la de N. Con las herramientas actuales, lo que Neper propuso fue un par de variables dependientes del tiempo, tales que ${\frac{dn}{dt}}$ = $\alpha$n, ${\frac{dm}{dt}}$ = $\beta$, de donde podemos concluir que ${\frac{dn}{dm}}$ = kn, con k = ${\frac{\alpha}{\beta}}$. La solución de esta ecuación diferencial tiene la forma n = ce^km, donde c es una constante, o equivalentemente, m = ${\frac{1}{k}}$ln n - ln c. Tomando adecuadamente el punto de partida (esto es, si n = 1 cuando m = 0) se obtiene c = 1. Según la literatura, Neper utilizó un valor k $\approx$ - 10^-7, de donde se obtiene que la base resultante es e^k $\simeq$ 0.9999999.

... entonces^4.1

Aquí usamos el hecho que f (x) = x^r es creciente en [0,$\infty$[, si r es un racional positivo