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Construcción vía sucesiones

En esta sección definimos f (x) = a^x para a > 1 y x $\in$ IR, partiendo de la definición para x $\in$ IQ. Para esto recordemos (sección 2.7) que existen sucesiones $\left(\vphantom{ r_{n}}\right.$r_n$\left.\vphantom{ r_{n}}\right)$ y $\left(\vphantom{ s_{n}}\right.$s_n$\left.\vphantom{ s_{n}}\right)$, la primera creciente y la segunda decreciente, tales que

r_n $$\leq$$ x < s_n = r_n + $${\frac{1}{10^{n}}}$$,  $$\forall$$n $$\in$$ IN.

Como a > 1, se tiene que f (r) = a^r es estrictamente creciente en IQ. Luego, como

r₁ $$\leq$$ r_n $$\leq$$ r_{n + 1} $$\leq$$ x $$\leq$$ s_{n + 1} $$\leq$$ s_n $$\leq$$ s₁,  $$\forall$$n $$\in$$ IN,

tenemos

a^r₁ < a^r_n < a^{r_{n + 1}} < a^{s_{n + 1}} < a^s_n < a^s₁,  $$\forall$$n $$\in$$ IN.

Esto muestra que la sucesión $\left(\vphantom{ a^{r_{n}}}\right.$a^r_n$\left.\vphantom{ a^{r_{n}}}\right)$ es creciente y acotada superiormente por a^s₁, mientras que la sucesión $\left(\vphantom{ a^{s_{n}}}\right.$a^s_n$\left.\vphantom{ a^{s_{n}}}\right)$ es decreciente y acotada inferiormente por a^r₁. Por el teorema de Weierstrass, ambas sucesiones son convergentes. Definamos

$$\lambda$$ = lim a^r_n,  $$\mu$$ = lim a^s_n.

Recordemos el ejemplo 2.6.22, donde mostramos que

a^1/n $$\rightarrow$$ 1.

Como 10ⁿ > n tenemos 1 < a^1/10n < a^1/n $\rightarrow$ 1, así que a^1/10n $\rightarrow$ 1. Luego

$$\mu$$ = lim a^s_n = lim a^{r_n + 1/10n} = lim a^r_na^1/10n = $$\lambda$$.

Note que entonces $\lambda$ es el único número real que es a la vez mayor que cada a^r_n y menor que cada a^s_n. Si queremos que f siga siendo creciente, la única definición posible para a^x es

a^x : = $$\lambda$$ = $$\lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$a^r_n.

Es claro entonces que esta definición coincide con la hecha anteriormente, usando el axioma del extremo superior de una manera directa. Esta nueva definición, con el uso de sucesiones, simplifica enormemente el trabajo al demostrar las propiedades de la exponencial para exponentes reales. Para hacerlo, el siguiente lema es de gran ayuda.

Lema 4.1.1   Si $\left(\vphantom{ \alpha_{n}}\right.$$\alpha_{n}^{}$$\left.\vphantom{ \alpha_{n}}\right)$ es una sucesión de racionales que converge a x, entonces la sucesión $\left(\vphantom{ a^{\alpha _{n}}}\right.$a^$\alpha_{n}$$\left.\vphantom{ a^{\alpha _{n}}}\right)$ converge a a^x.

Prueba

Recordemos que por la desigualdad de Bernoulli se tiene que

a = $$\left(\vphantom{ 1+\varepsilon_{n}}\right.$$1 + $$\varepsilon_{n}^{}$$$$\left.\vphantom{ 1+\varepsilon_{n}}\right)^{n}_{}$$ > 1 + n$$\varepsilon_{n}^{}$$ > n$$\varepsilon_{n}^{}$$,

donde $\varepsilon_{n}^{}$ = $\sqrt[n]{a}$ - 1 > 0. De aquí se concluye que

$${\frac{1}{n}} {\frac{a}{n}} \forall \in$$ (4.1)

Dado $\varepsilon$ > 0, existe m $\in$ IN tal que ${\frac{a}{m}}$ < $\varepsilon$, de donde

a^{${\frac{1}{m}}$} < 1 + $${\frac{a}{m}}$$ < 1 + $$\varepsilon$$.

Luego, como $\alpha_{n}^{}$ - r_n $\rightarrow$ 0, existe N $\in$ IN tal que - ${\frac{1}{m}}$ < $\alpha_{n}^{}$ - r_n < ${\frac{1}{m}}$, $\forall$n $\geq$ N. Consecuentemente

1 - $$\varepsilon$$ < $${\frac{1}{1+\varepsilon}}$$ < a^{- ${\frac{1}{m}}$} < a^{$\alpha_{n}$ - r_n} < a^{${\frac{1}{m}}$} < 1 + $$\varepsilon$$,$$\forall$$n $$\geq$$ N.

Esto muestra que a^{$\alpha_{n}$ - r_n} $\rightarrow$ 1, y luego

a^$\alpha_{n}$ = a^r_na^{$\alpha_{n}$ - r_n} $$\rightarrow$$ a^{x .} 1 = a^x.

El lema anteior será la herramienta principal en la demostración de las propiedades de la exponencial con exponente real. Veamos:

1. Para a > 1, la función f (x) = a^x es estrictamente creciente en IR.

   En efecto, sean x, y $\in$ IR tales que x < y. Sean $\left(\vphantom{ s_{n}}\right.$s_n$\left.\vphantom{ s_{n}}\right)$ y $\left(\vphantom{ t_{n}}\right.$t_n$\left.\vphantom{ t_{n}}\right)$ sucesiones de racionales tales que la primera crece a x y la segunda decrece a y. Sean p, q $\in$ IQ tales que x < p < q < y. Entonces

   a^s_n < a^p < a^q < a^t_n, $$\forall$$n $$\in$$ IN.
   Luego
   a^x = $$\lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$a^s_n $$\leq$$ a^p < a^q $$\leq$$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$a^r_n = a^y.

2. Para x, y $\in$ IR se tiene a^{x + y} = a^xa^y.

   Tome $\left(\vphantom{ s_{n}}\right.$s_n$\left.\vphantom{ s_{n}}\right)$ y $\left(\vphantom{ t_{n}}\right.$t_n$\left.\vphantom{ t_{n}}\right)$ sucesiones de racionales tales que s_n $\rightarrow$ x y t_n $\rightarrow$ y. Entonces s_n + t_n $\rightarrow$ x + y, y por el lema anterior

   a^{x + y} = $$\lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$a^{s_n + t_n} = $$\lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$a^s_na^t_n = a^xa^y.

3. Para x, y $\in$ IR se tiene $\left(\vphantom{ a^{x}}\right.$a^x$\left.\vphantom{ a^{x}}\right)^{y}_{}$ = a^xy.

   Aquí hay que ser un poco más cuidadoso. Asumamos primero que x y y son positivos. Tomemos sucesiones de racionales positivos $\left(\vphantom{ r_{n}}\right.$r_n$\left.\vphantom{ r_{n}}\right)$, $\left(\vphantom{ s_{n}}\right.$s_n$\left.\vphantom{ s_{n}}\right)$ y $\left(\vphantom{ t_{n}}\right.$t_n$\left.\vphantom{ t_{n}}\right)$ tales que $\left(\vphantom{ r_{n}}\right.$r_n$\left.\vphantom{ r_{n}}\right)$ crece a x, $\left(\vphantom{ s_{n}}\right.$s_n$\left.\vphantom{ s_{n}}\right)$ decrece a x, y t_n $\rightarrow$ y. Como a^r_n < a^x entonces^4.1 a^r_nt_n = $\left(\vphantom{ a^{r_{n}}}\right.$a^r_n$\left.\vphantom{ a^{r_{n}}}\right)^{t_{n}%% }_{}$ < $\left(\vphantom{ a^{x}}\right.$a^x$\left.\vphantom{ a^{x}}\right)^{t_{n}}_{}$, de donde por el lema anterior

   a^xy = $$\lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$a^r_nt_n $$\leq$$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$$$\left(\vphantom{ a^{x}}\right.$$a^x$$\left.\vphantom{ a^{x}}\right)^{t_{n}}_{}$$ = $$\left(\vphantom{ a^{x}}\right.$$a^x$$\left.\vphantom{ a^{x}}\right)^{y}_{}$$.
   Similarmente
   a^xy = $$\lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$a^s_nt_n $$\geq$$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$$$\left(\vphantom{ a^{x}}\right.$$a^x$$\left.\vphantom{ a^{x}}\right)^{t_{n}}_{}$$ = $$\left(\vphantom{ a^{x}}\right.$$a^x$$\left.\vphantom{ a^{x}}\right)^{y}_{}$$. 
   Pegando las dos desigualdades se obtiene la igualdad. Si x < 0 ó y < 0 se procede similarmente.

Nota: En esta sección se trabajó con el caso a > 1. Para 0 < a < 1 tenemos que b = ${\frac{1}{a}}$ > 1, y podemos definir

a^x : = $${\frac{1}{b^{x}}}$$, $$\forall$$x $$\in$$ IR.

Las propiedades demostradas arriba siguen siendo válidas para 0 < a < 1, excepto que ahora la función f (x) = a^x es estrictamente decreciente.

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