Hablemos de la esfera

Resumen

Les propongo mirar una prueba de la ¿conocida? profunda fórmula sobre los poliedros debida a Euler: V −L + C = 2 y de paso revisar algunas ideas sobre la esfera y algunas otras superficies. La demostración que veremos es debida a Adrien-Marie Legendre y, a decir de los historiadores, parece ser la primera prueba “correcta” pues se argumenta que la original de Euler no era completa. De todos modos Euler es quien encontró esta profunda relación y nos dio la oportunidad de agregar esta gota a los “ríos de tinta” que por ella han corrido. Diría que el crucial papel de Euler en este asunto es similar al del personaje de dibujos animados que abre una “puerta secreta” y sin querer, su curiosidad e inteligencia descubren un mundo. La prueba de Legendre, es sencilla, pero tiene la virtud de mostrar con claridad un hecho de la mayor importancia. Esto es que la fórmula expresa en verdad una propiedad de la esfera la cual se manifiesta en particular en los poliedros convexos. Para acceder a la prueba haremos primero algunos comentarios sobre la geometría esférica. En la geometría plana las figuras geométricas sencillas como los polígonos se construyen usando puntos y rectas que son los objetos “básicos” de dicha geometría. En la esfera los objetos básicos son también los puntos pero las rectas son reemplazadas por los círculos máximos en ella. Así dos puntos, que no sean ambos polos, determinan un único círculo máximo que los contiene. Por otra parte a los ángulos esféricos (formados por dos círculos máximas que se cortan en un punto) se les asigna como su “medida” la del ´angulo plano que forman las rectas tangentes en el plano tangente correspondiente al punto de intersección. En la geometría plana la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 2 rectos = π pero en la geometría esférica la cosa no es tan simple como ya observara Menelao de Alejandría. En efecto, en la geometría esférica la suma de los ángulos interiores de un triángulo se ve “perturbada” por el área del triángulo en cuestión aunque de una manera bastante razonable. Para enfatizar la naturaleza de los triángulos a considerar donde sus lados son arcos de círculo máximo en la esfera (es decir “geodésicas” de su geometría intrínseca) agregaremos el adjetivo “geodésico” a los triángulos a considerar. En efecto tenemos el siguiente resultado del siglo XVII obtenido por T. Harriot y A. Girard independientemente.