Inversión circular de las secciones cónicas

Resumen

Algunas veces resulta útil, en geometría, construir una figura auxiliar para resolver un problema. Así, por ejemplo, para demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos, se suele trazar la paralela a uno de los lados que pasa por un vértice; otros problemas requieren, también, construcciones similares. Por caso, el siguiente interrogante sobre cónicas, podría requerir una solución de ese tipo. En efecto, dada una hipérbola equilátera cualquiera, ¿Cómo hallar una circunferencia “tangente” a ambas ramas de la misma y que, además, pase por su centro?. Veremos que, usando una inversión apropiada, se puede obtener una solución en no más de cuatro pasos. Para esto, no obstante, será necesario conocer algunas propiedades de la inversión de las cónicas lo que nos sumergirá en el estudio de ciertas curvas clásicas (la Cisoide de Diocles, la estrofoide y la Lemniscata de Bernoulli), campo bellísimo de las matemáticas y de gran valor histórico. Veremos también que la excursión por estos temas nos aportará elementos para solucionar problemas de índole muy distinta al planteado inicialmente (esto es, el de construir por puntos una estrofoide y una Cisoide, partiendo de una parábola y usando solamente una escuadra; o bien, el de probar que una estrofoide y una circunferencia se intersecan en a lo sumo cuatro puntos). Con todo, el formato de esta presentación posee una peculiaridad. Y es que aquí se usan fuertemente los recursos informáticos. Pero no sólo como un buen medio expositivo (cosa que, dicho sea de paso, nadie discutiría en nuestros días) sino, más bien, como una herramienta para inferir resultados, que después, naturalmente, habrán de ser afirmados o refutados por una demostración. En particular, usaremos algunas funciones del Cabri para hallar lugares geométricos y para observar algunas propiedades métricas y angulares de la Lemniscata. Las construcciones y ejercicios que aquí se proponen varían en su grado de dificultad y requieren, en mayor o menor medida, de algunas de estas funciones para su mejor resolución. Se ha hecho todo lo posible para que las consignas sean abiertas, es decir, para que fomenten la experimentación y el espíritu de indagación del estudiante y no se agoten en una respuesta única y definitiva. Cuando se proponga hallar una construcción distinta a una dada, es para instar a la búsqueda de distintos caminos en la resolución de un problema, cosa en la que hacemos especial hincapié. La propuesta está pensada como parte de un curso sobre cónicas y exige algunos conocimientos básicos sobre inversión y construcciones.