Puntos periódicos de funciones continuas

Resumen

Las funciones continuas de una variable real han sido estudiadas intensamente por más de 200 años. Grandes matemáticos como Newton (1642-1727), Leibniz (1646-1716), Euler (1707-1783) y Weierstrass (1815-1897)han dejado documentos perdurables en este campo al punto que comprenden la mayor parte del cálculo con el que está familiarizado cualquier estudiante de ciencia e ingeniería en la actualidad. Resulta difícil creer que en este campo arado y cultivado reiteradas veces por muchos grandes maestros exista aún tierra virgen. En 1975, fue publicado en la "American Mathematical Monthly" un artículo titulado "Período tres implica caos" por T.Li y J.A.Yorke. En él anunciaron que habían descubierto un nuevo teorema para funciones continuas de una variable. El teorema dice que si una función continua tiene un punto de período tres, debe tener al menos un punto de período n para cada entero positivo n. Aquí se entiende por punto de período 3 aquel punto xo tal que j 3(xo) = J(J(J(xo))) = xo y que f(xo) =1= xo, J(J(xo)) =1= xo. Poco después se descubrió que el teorema de Li y Yorke era sólo un caso especial de un notable teorema publicado por el matemático soviético A. N. Sarkovskii en un Journal ucraniano. La original idea de Sarkovskii fue reordenar los números naturales y probar que si una función continua tiene un punto de período n, entonces tendrá puntos de cualquier período menor que n. en este nuevo ordenamiento. El número 3 resultó ser el mayor de todos en el ordenamiento de Sarkovskii, de modo que tener un punto de período 3 implica tener puntos de todos los otros períodos, y el teorema de Li y Yorke no fue novedad. Sin embargo fue en su artículo donde se introdujo el nuevo concepto de caos, sorprendiendo el hecho que iteraciones de una simple función continua permitan desarrollar estudios caóticos extremadamente complicados. La demostración original de Sarkovskii es larga y difícil de entender, aunque afortunadamente han aparecido algunas más cortas y simples.