Integrales complejas y sumas combinatorias

Resumen

Cada lector, según sus inquietudes y conocimientos, podrá. aprovechar esta nota de manera particular. Para algunos, las integrales complejas pueden parecer objetos demasiado abstractos, complicados y hasta inservibles. La relación y utilidad de éstas para evaluar explícitamente sumas combinatorias puede ser una buena razón para repasar, o estudiar por primera vez, las nociones básicas del análisis complejo. De todas formas incluimos en §2 un breve repaso sobre residuos. Para aquellos ya familiarizados con el análisis complejo, restan algunas curiosas identidades combinatorias. Sin embargo, para todos los lectores, quedará la. posibilidad de encontrar y probar nuevas e interesantes identidades que involucren sumas con números combinatorios o números binomiales. Describiremos un efectivo método para calcular este tipo de sumas. Una herramienta esencial es la integral de funciones de variable compleja. Los prerequisitos no son muy profundos: es necesario conocer las propiedades generales de la integral compleja y la definición y uso de los residuos. Un punto interesante del método que describiremos es el hecho de utilizar análisis complejo para resolver problemas de combinatoria. De un lado los números complejos e infinitésimos, del otro los números enteros y objetos discretos. Este fenómeno no es raro en matemática. Esperamos que esta nota sirva para ejemplificar como dos áreas, en principio distantes e independientes, se pueden relacionar y nutrir recíprocamente. Por último debemos decir que un profundo y muy amplio desarrollo de este método se encuentra en el libro "Integral Representations and the Computation of Combinatoria) Sums" de Egorychev G. ([E]). La mayoría de los ejemplos e identidades contenidas en esta nota han sido tomadas de este libro. Material extra sobre números combinatorios, sumas e identidades se puede encontrar en Gentile ([G]) (básico) y Knuth ([K)).