Funciones trigonométricas generalizadas

Resumen

Las funciones trigonométricas sen (ax) y cos (ax), a E R, satisfacen las propiedades descriptas en i)-iii). Según el trabajo de A. Kurepa, si se pide que sean continuas éstas son esencialmente las únicas funciones que satisfacen dicha ecuación funcional. El presente trabajo pretende mostrar que si no se pide continuidad, existen otros pares de funciones (c(x), s(x)) que las cumplen y que las de la forma (cos (ax), sett (ax)) son solo una pequeña parte de la totalidad. Dar un tal par de funciones (c(x),s(x)) equivale a dar un homomorfismo de grupos de R en el circulo unitario SI. Es por eso que para entender la prueba de la existencia de otros homomorfismos se requieren conocimientos básicos sobre espacios vectoriales, homomorfismos de grupos y cardinalidad de conjuntos. Al final del trabajo se exhibe un ejemplo de un homomorfismo de R en .5'1 que no proviene de un par de funciones trigonométricas clásicas. Este ejemplo puede ser generalizado y demuestra entonces la gran cantidad de funciones que verifican las propiedades i) — iii) y que no son de la forma (cos (ax), sen (ax)).