Mecánica de una partícula confinada a una superficie

Resumen

La enseñanza de geometría diferencial dirigida a estudiantes de grado de carreras matemáticas tradicionalmente no incluye aplicaciones a la mécanica clásica, aunque la relación entre estos dos campos es profundamente conocida. Este trabajo pretende exponer un ejemplo de esta relación a nivel de un alumno universitario de matemática. En los textos clásicos de geometría de superficies, como, se realiza todo el desarrollo de la derivada covariante de una curva sobre una superficie, se aplica esta derivada al propio campo de vectores tangente a la curva y se impone la condición que ´esta sea igual a cero, obteniendo así las geodésicas sobre la superficie; si en lugar de eso pedimos que la derivada covariante coincida con un campo podemos desarrollar la mecánica de una partícula confinada a la superficie sometida a dicho campo. Este pequeño agregado regir´a el espíritu de este trabajo. No se pretende originalidad en los resultados últimos obtenidos ya que las mismas ecuaciones las encontramos ya en textos de graduación, especialmente dirigidos a estudiantes de física, pero en estos casos el tratamiento es en coordenadas generalizadas y generalmente el desarrollo de las exposiciones sigue un punto de vista lagrangiano y, a veces, es previo a una introducción a métodos variacionales (ver por ejemplo, Capítulo 4). En contraste con lo anterior, la exposición en este trabajo es puramente geométrica, aunque usa cierta intuición física del problema que ayuda a la compresión del tema. Consideramos que la incorporación de resultados de esta naturaleza revaloriza ante los alumnos los contenidos enseñados y permite un entendimiento más global de lo estudiado. La exposición pretende ser mínimamente autocontenida, partiendo de conocimientos basicos de cálculo diferencial y álgebra lineal. En la segunda sección se dará la motivación didáctica para el estudio de la mecánica del confinamiento de partículas, el cual podemos resumir como “conocer el movimiento que realiza una bolita dentro de una copa”. A continuación, en la sección 3 se presentarán algunas definiciones y resultados básicos del cálculo diferencial sobre una superficie, haciendo hincapié en la geometría intrínseca. Se darán las fórmulas y enunciados requeridos alternando con ejemplos (nunca suficientes!). Ya en la sección 4 se hará una introducción a los campos conservativos en el espacio euclídeo, para luego, en la sección 5 hacer lo propio en una superficie. El punto central ser´a expuesto en la subsección 6.0.2 y consistir´a en determinar las trayectorias de una partícula confinada a una esfera, que se producen bajos los efectos de un campo de fuerzas vertical constante -como el campo generado por el peso- sin roce. Complementaremos la exposición en la sección 7 con el teorema de la conservación de la energía sobre superficies. Al final habremos