Una introducción a las funciones exponenciales y logarítmicas

Resumen

Estas notas contienen una introducción a las funciones exponenciales y logarítmicas, basada en los conocimientos que el alumno trae de la escuela secundaria sobre las mismas. Este enfoque resulta natural y también práctico al apoyarse en conocimientos previos del alumno y permite disponer de estas funciones al cabo de algunas semanas de clase. Otras presentaciones resultan menos trabajosas, pero requieren el uso de series de potencias o integrales y poseen Inas prerequisitos, obligando a posponer su uso. Por otra parte, si bien este enfoque es clasico, no se lo encuentra desarrollado frecuentemente en los libros de texto. En esta presentación se utilizaran las propiedades de los números reales, incluyendo el axioma de completitud o axioma del supremo. Su contenido es el siguiente. Primero se introduce la función exponencial a', donde a es un número real positivo fijo y x es progresivamente un número natural, entero, ravional y se establecen las propiedades básicas de la misma. Para ello se usan fuertemente las propiedades de la raíz n-esima de un numero real positivo. Se define luego az para x E 1R por medio del axioma del supremo. La mayor dificultad en esta etapa es probar la continuidad de a'. La función logaritmo se introduce como inversa de la exponencial, apelando al teorema de inversión de funciones continuas estrictamente crecientes o decrecientes. Las propiedades básicas de logs x se deducen de las de a'. El próximo paso y a la vez el mas dificil, es la determinaciOn de las derivadas de las funciones a' y logs x. Para ello es suficiente la determinación de una de ellas, siendo funciones inversas entre si. En este caso calcularemos en primer lugar la derivada de logs x. Veremos que este calculo se reduce a determinar los limites límite,±30 (1 + 1) t. La existencia de estos limites es no trivial, aunque puede probarse con argumentos elementales. Al final se grafican las funciones a= y logs x, para distintos valores de a.