Introducción de los números irracionales por descomposición en fracciones continuas
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Autores
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Spinadel, Vera
Resumen
Fue Pitágoras de Samos quién descubrió la inconmensurabilidad de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, introduciendo así el primer número “irracional”, esto es, que no se puede escribir como una razón de dos números enteros. Matemáticamente, el conjunto de los racionales junto con el de los irracionales forma el conjunto de números reales, que posee la propiedad de ser denso (esto es, no posee ningún agujero). Y los números irracionales se definen mediante las cortaduras de Dedekind manifestando que un número sobre el eje real lo divide en dos conjuntos disjuntos: el de los números reales mayores que él y el de los números reales menores que él. Por lo tanto, si el número elegido no es un entero o un racional, entonces queda definido el irracional. Pero esta definición no permite cuantificar el grado de irracionalidad o sea el grado de aproximación de las aproximantes racionales al número irracional. Este grado de irracionalidad resulta ser de importancia en las experiencias que se diseñan buscando las fronteras entre un sistema físico que se comporta periódicamente y su transformación en un sistema caótico, donde es imposible predecir el comportamiento ya que condiciones iniciales muy semejantes originan resultados totalmente dispares. Para detectar este grado de irracionalidad, usaremos la descomposición en fracciones continuas.
Fecha
2007
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Estado publicación
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Enfoque
Idioma
Revisado por pares
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Referencias
Vera W. de Spinadel, V. W. de (1998). From the Golden Mean to Chaos. Buenos Aires: Nueva Librería. Pisot, C. (1938). La répartition modulo 1 et les nombres algébriques. Ann. Scu. Norm. Sup. Pisa, Eérie 127, pp. 205-208. Vijayaraghavan, T. (1941). On the fractional part of the powers of a number. Proc. Camb. Phil. Soc. 37, pp. 349-357. Vijayaraghavan, T. (1942). On the fractional part of the powers of a number, London Math. Soc. 17, pp.137-138. Salem, R. (1945). Power series with integral coefficients. Duke Math. Journ. 12, pp. 153- 173, Salem, R. (1963). Algebraic numbers and Fourier Analysis. Heath Math. Monographs, Boston, Mass. Spinadel, V. W. de (2001). Half-regular continued fraction expansions and Design. Journal of Math. & Design, vol. 1, Number 1, pp. 67-71. Barache, D.; Champagne, B. and Gazeau, J. P. (1938). Pisot-Cyclotomic Quasilattices and their Symmetry Semi-groups, ed. J. Patera, Fields Institute Monograph Series, vol. 10, Amer. Math. Soc. Gazeau, J. P. (1997). Pisot-cyclotomic integers for Quasicrystals. The Mathematics of Aperiodic Long Range Order (ed. R. V. Moody) NATO-ASI Proceedings, Waterloo 1995, Kluwer Academic Publishers. Burdik, C.; Frougny, C.; Gazeau, J P. and Krejcar, R. (1998). Beta-Integers as natural counting systems for Quasicrystals. J. Phys. A: Math. Gen., 31, pp. 6449-6472. Gazeau, J. P. (2000). Counting systems with irrational basis for Quasicrystals. F. Axel, F. Dénoyer, J. P. Gazeau. (Ed.) In From Quasicrystals to more Complex Systems, No. 13. Les Houches School Proceedings, Springer-Verlag, Heidelberg, Berlin. Elser, V. (1985). Indexing problems in Quasicrystal Diffraction. Phys. Rev. B32, pp. 4892-4898. Gazeau, J. P. and Lipinski, D. (1997). Quasicrystals and their Symmetries, Symmetries and structural properties of condensed matter, Zajaczkowo 1996. T. Lulek (Ed.), World Scientific: Singapore. El Naschie, M. S. (1998). Remarks to the PV Number 4 . 236 ... 2 = Chaos, Solitons and Fractals, vol. 9, No. 8, pp. 1445-1471. El Naschie, M. S. (1999). The Golden Mean in Quantum Geometry, Knot theory and related topics. Chaos, Solitons and Fractals, vol. 10, No. 8, pp. 1303-1307. Ikezawa, K. and Kohmoto, M. (1994). Energy spectrum and the critical wavefunctions of the quasiperiodic Harper equation – the Silver Mean case. J. of the Phys. Soc. of Japan, vol. 63, No. 6, pp. 2261-2268. Smith, A. R. (1996). Chao Kuo-Jen, Niu Qian, Shih Chih-Kang, Formation of atomically flat Silver films on Ga-As with a Silver Mean quasi-periodicity, Science, vol. 273, pp. 226- 228. Shih Chih-Kang, Growing atomically flat metal films on semiconductor substrates, Internet: http://www.aps.org/BAPSMAR98/abs./S278002.html