Descartes…el regreso

Resumen

Los computadores se han convertido en una herramienta tecnológica de uso cotidiano para el matemático, en cuanto le ayudan a modelar y a pensar. Ahora es posible comprobar fácilmente una conjetura para apoyar o rechazar hipótesis, por ejemplo, haciendo que el computador lleve a cabo cálculos que de otra forma serían irrealizables. Muy frecuentemente esto se hace interactuando con simulaciones numéricas y/o CAS (Computer Algebra Systems). En esta presentación se mostrará cómo Cabri, originalmente un ambiente computacional desarrollado para interactuar dinámicamente con objetos geométricos es (o puede ser) usado en muchos casos, para realizar tareas que las personas hacían usando sistemas numéricos y/o algebraicos. Expondremos ejemplos ilustrativos donde, operando con objetos matemáticos bajo manipulación directa, Cabri se usa en una forma muy poderosa en álgebra, cálculo, cinemática, mecánica y/o física. La geometría dinámica está basada en la geometría de Euclides, a la cual se agrega el concepto de movimiento y otros principios de diseño como el de continuidad, explicitación del infinito, reversibilidad o ergonomía cognoscitiva, clases de invarianza y muchos otros en los cuales no voy a profundizar. Durante gran parte del desarrollo de la geometría hasta su edad de oro, que podemos considerar data del siglo diecisiete, se ve la geometría como una herramienta para el debate intelectual. Por ejemplo, los elementos de Euclides se constituyeron fundamentalmente en un juego mental sin una perspectiva hacia el aprendizaje o sin la pretensión de hacer de la geometría algo útil; era más una actividad para el espíritu. Sin embargo, aparece en este siglo, el aspecto práctico de la geometría. Para los arquitectos, constructores, físicos, e incluso para los pintores, la geometría tiene gran aplicación. Conocemos por ejemplo el desarrollo de la perspectiva que nació con los problemas planteados por la representación de la naturaleza a los que se enfrentaron los pintores de la época. Pero este desarrollo también tiene algunas limitaciones que frenaron su perfeccionamiento. Entre ellas, mencionaremos limitaciones de tipo teórico como la imposibilidad de ciertas construcciones e igualmente limitaciones de tipo práctico como la mediocridad de la calidad de los trazados. Para ilustrar estas ideas, y a propósito de las construcciones imposibles con regla y compás, quisiera citar algunos ejemplos como el de la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo, entre otros. Estas construcciones son imposibles si nos limitamos al uso de la regla y el compás, pero mostraré cómo es posible realizarlas, con la ayuda de Cabri Géomètre. Realizaremos por ejemplo, la construcción de la trisección del ángulo.