¿Sumar 1 + 2n + … + mn para cualquier n? ¡Es fácil!

Resumen

En este artículo obtenemos en forma directa mediante métodos elementales la suma de las n-ésimas potencias de los primeros m enteros positivos. La deducción se basa enteramente en los conceptos de recursión y prueba por Inducción Completa y parte de una idea simple: disponer la suma 1 + 2n + ... + mn en un arreglo triangular de potencias (n-1)-ésimas. La solución de este problema es bien conocida: las funciones Pn(m) son polinomios de grado n + 1 en la indeterminada m que se expresan en términos de los polinomios y números de Bernoulli. Al obtener los coeficientes de Pn(m) recobramos como subproducto de nuestro trabajo esta importante familia de números racionales. Sin embargo, hay algo nuevo: el cálculo directo de Pn(m) no sólo nos permite ver más de cerca cómo está constituido cada número de Bernoulli Bn, sino que nos facilita la construcción de un eficaz algoritmo de cómputo para obtenerlos hasta cualquier N fijo deseado.