El teorema de Napoleón		Mario Dalcín

Inicio  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 13 14

 

Segunda demostración

Los triángulos $\,\bigtriangleup ACA'\,$ y $\,\bigtriangleup NCM\,$ son semejantes por tener una pareja de ángulos congruentes y dos pares de lados proporcionales:

$\,m\sphericalangle ACA'= m\sphericalangle NCM = m\sphericalangle ACB + 60\,$

$\,\displaystyle {\frac{\overline{NC}}{\overline{AC}}= \frac{\overline{MC}}{\overline{A'C}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\,$ por lo tanto se cumple: $\,\displaystyle {\frac{\overline{NM}}{\overline{AA'}}}= \displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}\,$. (1)

Por el teorema de las Medianas en $\,\bigtriangleup BAB'\,$, $\,\bigtriangleup PAN\,$ y $\,\bigtriangleup CBC'\,$, $\,\bigtriangleup MBP\,$

tendríamos $\,\displaystyle {\frac{\overline{NM}}{\overline{AA'}}= \frac{\overline{PN}}{\overline{BB'}}= \frac{\overline{MP}}{\overline{CC'}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\,$ por lo tanto se cumple: $\,\displaystyle {\frac{\overline{NM}}{\overline{AA'}}}= \displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}\,$.(2)

y como $\,\overline{AA'}=\overline{BB'}=\overline{CC'}\,$(primeras observaciones) de (1) y (2) se tiene que $\,\overline{NM}=\overline{PN}\overline{MP}\,$.

 

Inicio  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 13 14

Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR
Derechos Reservados