Sistemas Formales, informalmente. ¿Por qué intentaron formalizar a la matemática si era tan buena muchacha?

Resumen

La corriente formalista de las matemáticas, cuya noción central es la de sistema formal, constituye un intento de fundamentar el conocimiento matemático sobre una base sólida que garantice su validez absoluta y universal. Las matemáticas siempre han gozado de la reputación de ser la ciencia más exacta y rigurosa; aquella que más se ha acercado al ideal de conocimiento absoluto y cuya verdad está más alla de toda duda. A través de la historia se han dado varios intentos de justificar las pretensiones de verdad de las matemáticas. Este libro, al introducir de manera sencilla el concepto de sistema formal, permite mostrar el papel que este concepto puede jugar en diversos campos de las matemáticas y de la ciencia. Adicionalmente, al considerar en cierto detalle algunas de estas áreas y mostrar la relación que es posible establecer entre una realidad y el sistema formal que la modela, el libro pretende desarrollar en el lector, al menos parcialmente, las capacidades de abstracción y simplificación necesarias para el análisis de realidades complejas. Por otra parte, este conjunto de temas buscan preparar al lector para la comprensión intuitiva de uno de los resultados más importantes de la historia y la filosofía de las matemáticas de este siglo: el teorema de Incompletitud de Gödel. El primer capítulo es un drama en tres actos sobre las aventuras y vicisitudes de los sistemas axiomáticos y formales. El acertijo de MU presenta los elementos de un sistema formal y allí se establece un lenguaje común. Producir los números, Fractales, Juego de vida, Sistemas formales y lenguaje, El método axiomático, Los sistemas sociales y las matemáticas, Un ejemplo de axiomatización y Sistemas axiomáticos son los temas en los que se presenta el proceso de modelaje. El orden en que se presentan corresponde, no al desarrollo histórico que han tenido sino al grado de dificultad, comenzando con un sistema puramente formal (sin semántica) hasta llegar a las definiciones de consistencia e independencia en un sistema axiomático. Los últimos capítulos: Regreso al futuro III, El final de la historia, Observaciones sobre la demostración de Gödel y El teorema de Gödel a través de acertijos retoman la parte histórica del desarrollo de la formalización matemática y el resultado de Gödel: el teorema de Incompletitud. El libro es el resultado de nuestra experiencia en el diseño e implementación de los cursos de matemáticas para ciencias sociales en la Universidad de los Andes (en especial en el curso de Matebásica) y del interés que muchas personas han manifestado en este tema. Además de tener propósitos de divulgación, el libro ha sido diseñado de tal manera que pueda ser utilizado como libro de texto en el último ciclo de bachillerato y el primer ciclo universitario.