¿Cómo pintar un cubo?

Resumen

El título nos puede llevar a formular muchas preguntas que involucren pintura y un cubo. ¿Cuánta pintura necesito para pintar un cubo? ¿Cuántos cubos distintos puedo pintar con tres colores, si deseo que todas las caras tengan el mismo color? ¿Cuántos colores necesito para pintar las caras de un cubo de siete maneras distintas? ¿Cuántos cubos distintos puedo pintar con azul y blanco? De las preguntas posibles hay muchas de respuesta muy sencilla y por lo tanto poco interesantes. Otras muy complicadas e imposibles de responder. Para lograr una buena pregunta a partir del título, comencemos por precisar la pregunta ¿cómo pintar un cubo? El cubo es un objeto geométrico y por lo tanto abstracto, sin menospreciar por ello a ciertos objetos de existencia concreta que identificamos como cubos. La ventaja de utilizar un cubo geométrico está en que podemos entonces aprovechar todo lo que sabemos de geometría del espacio. Aprovechamos la ocasión para decir que asumimos que el lector está familiarizado con las propiedades básicas de la geometría euclidea plana y del espacio, como también con las propiedades de las transformaciones rígidas tanto del plano como del espacio. Para pintar nuestro cubo fijaremos el número de colores utilizables al que llamaremos k (de kolor). Convendremos que una cara del cubo debe pintarse toda del mismo color. No permitiremos caras a rayas o con lunares. Nos interesa saber cuántos cubos distintos podemos pintar en estas condiciones. Debemos aclarar el sentido de la palabra distintos. Si a un cubo le pintamos la cara de arriba azul y el resto rojo y a otro le pintamos la cara de abajo azul y el resto rojo, podemos concluir que los hemos pintado de igual manera, pues moviendo uno de ellos de tal forma de llevar la cara de abajo.. hacia arriba, obtenemos el mismo motivo. Esta observación nos conduce a las siguientes definiciones.