Continuidad de funciones basadas en reordenamientos de β-expansiones de un número

Resumen

Las funciones dadas por reordenaciones de β-expansiones de un número suelen ser presentadas como ejemplos de variables aleatorias en la teoría de la probabilidad, sin embargo, no se realiza un estudio a profundidad de este tipo de funciones ni se suele presentar una demostración rigurosa de que, en efecto, son variables aleatorias. En el presente trabajo, se da una demostración del resultado original de que este tipo de funciones son continuas en casi todas partes, de lo cual se deduce que son variables aleatorias. Además, se presentan demostraciones originales y directas de algunas propiedades conocidas de las β-expansiones de los números entre 0 y 1; entre estas, se establece condiciones para que un número tengaβ-expansión única y también se prueba que si dos números tienen β-expansión única y son suficientemente cercanos, entonces susβ-expansiones coinciden hasta cierto índice. Finalmente, se presenta una caracterización original sobre los puntos de continuidades funciones dadas por reordenaciones estrictamente crecientes.