Cúbicas de Apolonio, como una aplicación de la teoría de grupos

Resumen

El tema central de este trabajo es el estudio de las cúbicas de Apolonio desde perspectivas más generales que las clásicas, considerando elementos de la geometría algebraica y de la teoría de grupos. En la primera parte se discuten nociones básicas sobre el plano proyectivo y las curvas algebraicas planas. A continuación se centra la discusión en las curvas cúbicas, mediante la definición de una ley de composición sobre los puntos de estas curvas, la cual induce una ley de grupo que permite posteriormente describir propiedades y comportamientos de estas curvas. En la segunda parte se usa la teoría básica presentada para estudiar las cúbicas de Apolonio, se discuten y caracterizan las ecuaciones de las cúbicas y se presentan algunas propiedades generales de las cúbicas. Finalmente se analizan casos particulares de estas curvas: cúbicas singulares y cúbicas reducibles; Cabe anotar que gran parte de la discusión llevada a cabo en este trabajo se complementa y se ilustra con gráficas para cada uno de los casos.