Geometría hiperbólica II. Áreas, fórmulas trigonométricas y congruencia de triángulos

Resumen

En esta nota continuamos el estudio de la geometría hiperbólica iniciado en la nota anterior Geometría Hiperbólica I (GHI), ya publicada en ésta Revista. En ese trabajo se demostraron diversas propiedades de las transformaciones de Möbius y se determinaron las rectas hiperbólicas. En la presente, estudiamos en primer lugar el área hiperbólica de algunas regiones. Como caso particular (ver lema 1.3) establecemos que el área de un triángulo, y por ende la de un polígono, está determinada por sus ángulos; resultado curioso en extremo si el lector está predispuesto a dejarse guiar por la intuición formada sobre la geometría euclidiana. En la segunda sección (ver 2.1, 2.2, 2.3) se encuentran fórmulas trigonométricas análogas a las de la geometría euclidiana, en estas intervienen las funciones hiperbólicas cosh, senh. además de las trigonométricas. Finalmente el teorema de congruencia de triángulos marca nuevamente la notable diferencia con la geometría euclídea, al concluir que dos triángulos que tienen sus ángulos respectivamente iguales son congruentes.