Un caso particular del teorema de Dirichlet

Resumen

Uno de los problemas clásicos en Teoría de Números es la ubicación de los números primos en el conjunto de los números naturales. El teorema de Dirichlet (1837) establece que, si a y n son números naturales coprimos, hay infinitos primos en la sucesión n + a, 2n + a, 3n + a, ···. Las demostraciones conocidas de este teorema son difíciles: la prueba original de Dirichlet usa teoría analítica de números y hay otras posteriores, más algebraicas, de Selberg y de Zassenhaus, por ejemplo. En algunos casos particulares, hay demostraciones de este teorema más elementales. Por ejemplo, la primera demostración conocida de la infinitud de números primos, que se encuentra en los Elementos de Euclides (siglo III a. C.), puede pensarse como un caso particular de este teorema para a=n=1. Otro caso similar es la siguiente demostración elemental de la infinitud de primos de la forma 4k +3 con k ∈ N: Si, además del 3, hubiese finitos primos p1,...,pr de esta forma (este conjunto no es vacío porque el 7 es uno de estos primos), consideremos m=4. p1.··· .pr + 3. Como el número impar m no es divisible por 3 ni por ninguno de los pi (1≤i≤r), cualquier primo que divida a m debe ser de la forma 4h+1 para h∈N. Luego 3≡m≡(4h1 +1).(4h2 +1).···(4ht +1)≡1 (mód 4) lo que es un absurdo que provino de suponer que había finitos primos de la forma 4k + 3. Una demostración similar puede usarse para probar que hay infinitos primos de la forma 6k +5. Para el caso particular a = 1, existen distintas demostraciones elementales del Teorema de Dirichlet (ver, por ejemplo, [2, 4, 5, 6, 8, 9]. En lo que sigue, daremos una demostración del Teorema de Dirichlet para el caso a = 1 que sólo usa aritmética elemental, polinomios en una variable y raíces de la unidad.