Una perspectiva histórica de las series de Fourier: de las ecuaciones de ondas y de del calor a los operadores compactos y autoadjuntos

Resumen

Uno de los problemas del que se ocuparon los matemáticos del siglo XVIII es el "problema de la cuerda vibrante". Éste fue estudiado por D`Alembert, Euler y un poco más tarde, en 1753, por Daniel Bernoulli. La solución dada por éste consistió en expresarla como superposición de ondas sencillas. Sus ideas fueron aplicadas y perfeccionadas por Fourier, en 1807, en el estudio de la conducción del calor. Quedaron escritas en la obra "Théorie analytique de la Chaleur", publicada en 1822. Los razonamientos de Fourier plantearon controversias y cuestiones que han influido en la historia de la Matemática. Aquí comentamos algunas de ellas, tales como la existencia de funciones continuas no derivables, teoría de conjuntos de Cantor y nociones de la integral de Cauchy, Riemann y Lbesgue. Tratamos además la presentación actual de las series de Fourier. Finalmente comentamos el papel jugado en este siglo por el Análisis Funcional para situar a las series de Fourier en su marco abstracto.