El teorema de Napole�n

 

Mario Dalc�n
   
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Cuarta demostraci�n

Demostraremos que la composici�n de tres rotaciones con centros no alineados, del mismo sentido y donde la suma de los �ngulos de rotaci�n sea $\,360\,$ es la identidad.

Para ello consideremos la composici�n de las rotaciones de centros en los v�rtices de un tri�ngulo, �ngulos el doble de cada �ngulo respectivo del tri�ngulo y del mismo sentido las tres.

Para indicar una rotaci�n usaremos la siguiente notaci�n: $\,R_{O,\alpha,horario}\,$, donde $\,O\,$ indica el sentido horario o rotaci�n, $\,\alpha\,$ la medida del �ngulo de rotaci�n y a continuaci�n se indicara el sentido horario o anti-horario. Usaremos adem�s que toda rotaci�n es la composici�n de dos simetr�as axiales de ejes secantes en el centro de rotaci�n y que el �ngulo que forman entre ellas es la mitad del �ngulo de rotaci�n.

$R_{A,2\alpha,horario}\,\,\, O \,\,\,R_{B,2\beta,horario}\,\,\, O\,\,\, R_{C,2\gamma,horario}$ $=$ $S_{AC}\,\,\, O\,\,\, S_{AB} O S_{BC}\,\,\, O\,\,\, R_{C,2\gamma,horario}$
     
  $=$ $S_{AC} \,\,\,O\,\,\, S_{BC} \,\,\,O\,\,\, R_{C,2\gamma,horario}$
     
  $=$ $R_{C,2\gamma,antihorario} \,\,\,O\,\,\, R_{C,2\gamma,horario}$
     
  $=$ $\mbox{Identidad}$



En nuestra construcci�n

$\,R_{M,120^\circ,horario}\,\,\,O\,\,\,R_{N,120,horario}\,\,\O\,\,\,R_{P,120^\circ,horario}= \mbox{Identidad}\,$

y como las isometr�as con la composici�n de funciones forman grupo, podemos escribir

$\,R_{M,120,horario}\,\,\,O\,\,\,R_{N,120^\circ,horario}=R_{P,120^\circ,antihorario}\,$

$\,S_{r}\,\,\,O\,\,\,S_{MN}\,\,\,O\,\,\,S_{MN}\,\,\,O\,\,\,S_{S}=R_{P,120^\circ,antihorario}\,$

donde el �ngulo de (r) y MN es $\,60�\,$ y

el �ngulo de NM y (s) es $60^\circ$.

Si $\,(r)\cap(s)={J}\,$:

$\,R_{J,120^\circ,antihorario}=R_{P,120^\circ,antihorario}\,$

de donde debe ser J=P,

por lo que $\,\triangle MNP\,$ es equil�tero.

(Demostraci�n tomada de Ledergerber-Ruoff,pp.128-129)

 
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