Primera demostraci�n

Sean $\,M,N,P\,$ los centros de los tri�ngulos equil�teros.

Si $\,\bigtriangleup ABC' \cap \bigtriangleup BCA' = \{B,F\}\,$ , se cumple que:

$\,\overline{NP}\,$ es mediatriz de $\,\overline{AF}\Longrightarrow m\sphericalangle ANP = m\sphericalangle PNF\,$

$\,\overline{MN}\,$ es mediatriz de $\,\overline{FC}\Longrightarrow m\sphericalangle MNC = m\sphericalangle FNM\,$

de lo anterior:

$\,m\sphericalangle ANC = 2\cdot m \sphericalangle PNM \Longrightarrow m\sphericalangle PNM = 60\,$ .

Procediendo de la misma forma con otro de los �ngulos vemos que $\,\bigtriangleup MNP\,$ es equil�tero.