Segunda demostraci�n

Los tri�ngulos $\,\bigtriangleup ACA'\,$ y $\,\bigtriangleup NCM\,$ son semejantes por tener una pareja de �ngulos congruentes y dos pares de lados proporcionales:

$\,m\sphericalangle ACA'= m\sphericalangle NCM = m\sphericalangle ACB + 60\,$

$\,\displaystyle {\frac{\overline{NC}}{\overline{AC}}= \frac{\overline{MC}}{\overline{A'C}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\,$ por lo tanto se cumple: $\,\displaystyle {\frac{\overline{NM}}{\overline{AA'}}}= \displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}\,$ . (1)

Por el teorema de las Medianas en $\,\bigtriangleup BAB'\,$ , $\,\bigtriangleup PAN\,$ y $\,\bigtriangleup CBC'\,$ , $\,\bigtriangleup MBP\,$

tendr�amos $\,\displaystyle {\frac{\overline{NM}}{\overline{AA'}}= \frac{\overline{PN}}{\overline{BB'}}= \frac{\overline{MP}}{\overline{CC'}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\,$ por lo tanto se cumple: $\,\displaystyle {\frac{\overline{NM}}{\overline{AA'}}}= \displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}\,$ .(2)

y como $\,\overline{AA'}=\overline{BB'}=\overline{CC'}\,$ (primeras observaciones) de (1) y (2) se tiene que $\,\overline{NM}=\overline{PN}\overline{MP}\,$ .

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