Deducción de la fórmula de Herón a partir de las tangentes de los ángulos medios

Resumen

En este trabajo presentamos una demostración de la fórmula de Herón, 𝐴 = √(𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)) para calcular el área de un triángulo con ángulos internos 𝛼, 𝛽 y 𝛾; longitud de los lados 𝑎, 𝑏 y 𝑐, 𝑠 semiperimetro. El procedimiento está basado en los puntos determinados por la circunferencia inscrita, el cálculo de las tangentes de los ángulos medios del triángulo, el teorema de los cosenos y la identidad 𝑇𝑎𝑛 (𝐴/2) = √(1−𝑐𝑜𝑠 (𝐴))/ √(1+𝑐𝑜𝑠 (𝐴)); así deducimos una nueva fórmula para el área del triangulo 𝐴 = 𝑠^2𝑇𝑎𝑛 (𝛼/2) 𝑇𝑎𝑛 (𝛽/2) 𝑇𝑎𝑛(𝛾/2). Analizamos luego los casos particulares: 𝛼 = 𝛽 = 𝛾, triángulos equiláteros 𝐴 = 9𝑎2/4 𝑇𝑎𝑛^3(𝛼/2); Si 𝛼 = 𝛽, para triángulos isósceles 𝐴 = (2𝑎+𝑐/2)^2 * (𝑇𝑎𝑛^2(𝛼/2)/𝑇𝑎𝑛(𝛼)) y 𝛼 = 𝜋/2, triángulos rectángulos 𝐴 = 𝑠^2𝑇𝑎𝑛 (𝛽/2)𝑇𝑎𝑛(𝜋/4 − 𝛽/2). Adicionalmente ilustramos esta demostración con una construcción en Geogebra, usando la ventana gráfica (fórmulas algebraicas) y la ventana grafica 2 (representación geométrica), que permite asociar los aspectos algebraicos a los geométricos mediante el uso de las casillas de control.