Inicio  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28 

Un barniz de sucesiones

Una sucesión numérica es una función a : IN $ \rightarrow$ IR. Es común denotar an en vez de a$ \left(\vphantom{ n}\right.$n$ \left.\vphantom{ n}\right)$, y pensar en la sucesión como un ``conjunto ordenado'' (o $ \infty$ -étupla)

$\displaystyle \left(\vphantom{ a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},\ldots}\right.$a0, a1, a2,..., an,...$\displaystyle \left.\vphantom{ a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},\ldots}\right)$,

de ahí el nombre sucesión, pues cada número tiene sucesor, y aparte de a0, todos tienen antecesor. A an se le llama el n - ésimo término de la sucesión. La sucesión a se denota por (an) o $ \left(\vphantom{ a_{n}}\right.$an$ \left.\vphantom{ a_{n}}\right)_{n\in I\!\! N}^{}$.

Ejemplo 2.6.1   Si an = 1 para cada n, tenemos $ \left(\vphantom{ a_{n}}\right.$an$ \left.\vphantom{ a_{n}}\right)$ = $ \left(\vphantom{ 1,1,\ldots}\right.$1, 1,...$ \left.\vphantom{ 1,1,\ldots}\right)$.

Ejemplo 2.6.2   Si an = $ \left(\vphantom{ -1}\right.$ -1$ \left.\vphantom{ -1}\right)^{n}_{}$ para cada n, tenemos $ \left(\vphantom{ a_{n}}\right.$an$ \left.\vphantom{ a_{n}}\right)$ = $ \left(\vphantom{ 1,-1,1,-1,\ldots}\right.$1, - 1, 1, - 1,...$ \left.\vphantom{ 1,-1,1,-1,\ldots}\right)$.

Ejemplo 2.6.3   Para an = $ \left(\vphantom{ 1+\left( -1\right) ^{n}}\right.$1 + $ \left(\vphantom{ -1}\right.$ -1$ \left.\vphantom{ -1}\right)^{n}_{}$$ \left.\vphantom{ 1+\left( -1\right) ^{n}}\right)$$ {\frac{n}{2}}$, para cada n, entonces

$\displaystyle \left(\vphantom{ a_{n}}\right.$an$\displaystyle \left.\vphantom{ a_{n}}\right)$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ 0,0,2,0,4,\ldots,0,2k,0,\ldots}\right.$0, 0, 2, 0, 4,..., 0, 2k, 0,...$\displaystyle \left.\vphantom{ 0,0,2,0,4,\ldots,0,2k,0,\ldots}\right)$.

De la misma forma se pueden considerar sucesiones definidas a partir de cierto n. Así, $ \left(\vphantom{ a_{n}}\right.$an$ \left.\vphantom{ a_{n}}\right)_{n\geq k}^{}$ denotará la sucesión a : $ \left\{\vphantom{ k,k+1,\ldots}\right.$k, k + 1,...$ \left.\vphantom{ k,k+1,\ldots}\right\}$ $ \rightarrow$ IR.

Ejemplo 2.6.4   Si an = $ {\frac{1}{n}}$ para n $ \geq$ 1, se obtiene $ \left(\vphantom{ a_{n}}\right.$an$ \left.\vphantom{ a_{n}}\right)_{n\geq1}^{}$ = $ \left(\vphantom{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots}\right.$1,$ {\frac{1}{2}}$,$ {\frac{1}{3}}$,...$ \left.\vphantom{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots}\right)$.

Definición 2.6.1   La sucesión (an) se llama creciente si a0 $ \leq$ a1 $ \leq$ a2 $ \leq$.... Nótese que esto es equivalente a tener

an $\displaystyle \leq$ am, para n $\displaystyle \leq$ m.

Si la desigualdad es estricta, la sucesión se llama estrictamente creciente. Similarmente, (an) se llama decreciente si an $ \geq$ am para n $ \leq$ m.

Ejemplo 2.6.5   La sucesión $ \left(\vphantom{ \frac{1}{n}}\right.$$ {\frac{1}{n}}$$ \left.\vphantom{ \frac{1}{n}}\right)_{n\geq1}^{}$ = $ \left(\vphantom{ 1,\frac{1}%% {2},\frac{1}{3},\ldots}\right.$1,$ {\frac{1}{2}}$,$ {\frac{1}{3}}$,...$ \left.\vphantom{ 1,\frac{1}%% {2},\frac{1}{3},\ldots}\right)$ es decreciente estrictamente.

Ejemplo 2.6.6   La sucesión constante (c)n $\scriptstyle \in$ IN = $ \left(\vphantom{ c,c,c,\ldots}\right.$c, c, c,...$ \left.\vphantom{ c,c,c,\ldots}\right)$ es creciente y decreciente.

Ejemplo 2.6.7   La sucesión ([$ {\frac{n}{2}}$])n $\scriptstyle \in$ IN = $ \left(\vphantom{ 0,0,1,1,2,2,\ldots }\right.$0, 0, 1, 1, 2, 2,...$ \left.\vphantom{ 0,0,1,1,2,2,\ldots }\right)$ es creciente, pero no estrictamente creciente.

Ejemplo 2.6.8   La sucesión $ \left(\vphantom{ 1,-1,1,-1,\ldots}\right.$1, - 1, 1, - 1,...$ \left.\vphantom{ 1,-1,1,-1,\ldots}\right)$ = ((- 1)n)n $\scriptstyle \in$ IN no es creciente ni decreciente.

La sucesión (an)n $\scriptstyle \in$ IN se llama acotada superiormente, si existe b $ \in$ IR tal que an $ \leq$ b,$ \forall$ n $ \in$ IN. Equivalentemente, $ \left(\vphantom{ a_{n}}\right.$an$ \left.\vphantom{ a_{n}}\right)$ es acotada superiormente si su rango

R = $\displaystyle \left\{\vphantom{ a_{n}:n\in I\!\! N}\right.$an : n $\displaystyle \in$ IN$\displaystyle \left.\vphantom{ a_{n}:n\in I\!\! N}\right\}$

es un conjunto acotado superiormente. Similarmente, $ \left(\vphantom{ a_{n}}\right.$an$ \left.\vphantom{ a_{n}}\right)$ se llama acotada inferiormente si su rango es acotado inferiormente. La sucesión (an) se llama acotada si es acotada superior e inferiormente (esto es, si su rango es acotado). Nótese que (an)n $\scriptstyle \in$ IN es acotada si, y solo si, existe T > 0 tal que | an| $ \leq$ T,$ \forall$ n $ \in$ IN.

Es un buen ejercicio demostrar este hecho con detalle.

Ejemplo 2.6.9   Las sucesiones ($ {\frac{1}{n}}$)n $\scriptstyle \geq$ 1, ((- 1)n)n $\scriptstyle \in$ IN y (c)n $\scriptstyle \in$ IN son acotadas. En efecto, en los dos primeros casos se puede tomar T = 1, y en el tercer caso T = $ \left\vert\vphantom{ c}\right.$c$ \left.\vphantom{ c}\right\vert$.

Ejemplo 2.6.10   La sucesión ([$ {\frac{n}{2}}$])n $\scriptstyle \in$ IN es acotada inferiormente, pero no superiormente. En efecto, $ \left[\vphantom{ \frac{n}{2}}\right.$$ {\frac{n}{2}}$$ \left.\vphantom{ \frac{n}{2}}\right]$ $ \geq$ 0, pero no existe b tal que $ \left[\vphantom{ \frac{n}{2}}\right.$$ {\frac{n}{2}}$$ \left.\vphantom{ \frac{n}{2}}\right]$ $ \leq$ b para todo n $ \in$ IN, pues si así lo fuera, 2b + 2 sería cota superior de IN.

Ejemplo 2.6.11   La sucesión ((- 1)nn)n $\scriptstyle \in$ IN no es acotada ni superior ni inferiormente. Se invita al lector a verificar este hecho con todo detalle.


Subsections
  Inicio  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28