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Conclusión

La construcción que aquí presentamos no es muy común encontrarla en la literatura. A nivel de secundaria podría explotarse esta idea, usando expansiones decimales, y apoyándose en la calculadora. Para fijar ideas, supongamos que tenemos calculadoras C₁, C₂,..., C_n..., tales que C_n trabaja con n dígitos de exactitud. Si queremos calcular 2^$\sqrt{2}$ con cierta exactitud, basta con escoger la calculadora C_n, con n suficientemente grande. Cuanto más grande sea n, mejor será la aproximación de 2^$\sqrt{2}$ que se obtenga.

En general, si x $\in$ IR tiene expansión decimal

x = c₀, c₁c₂...

esto quiere decir que para cada n $\in$ IN se tiene

c₀ + $${\frac{c_{_{1}}}{10}}$$ + $${\frac{c_{2}}{100}}$$ +...+ $${\frac{c_{n}}{10^{n}}}$$ $$\leq$$ x $$\leq$$ c₀ + $${\frac{c_{1}}{10}}$$ + $${\frac{c_{2}}{100}}$$ +...+ $${\frac{c_{n}+1}{10^{n}}}$$.

Los números racionales r_n = c₀ + ${\frac{c_{1}}{10}}$ + ${\frac{c_{2}}{100}}$ +...+ ${\frac{c_{n}}{10^{n}}}$ = c₀, c₁c₂...c_n satisfacen

r_n $$\leq$$ x $$\leq$$ r_n + $${\frac{1}{10^{n}}}$$ = s_n.

Por ser la exponencial creciente para a > 1, tenemos 2^r_n $\leq$ 2^x $\leq$ 2^s_n. Si por ejemplo podemos calcular 2^r_n y 2^s_n, y observamos que coinciden en los primeros veinte dígitos, entonces sabremos que esos son los primeros veinte dígitos en la expansión de 2^x.
Por ejemplo, tomemos

$$\sqrt{2}$$ = 1. 414 213 562 373 095...

Entonces

r14	= 414 213 562 373 09,
s14	= 1. 414 213 562 373 09 + ${\frac{1}{10^{14}}}$ = 1. 414 213 562 373 1.

Calculando con una calculadora de 15 dígitos tenemos

2r14	= 2. 65 144 142 690 216...
2s14	= 2. 665 144 142 690 234...

Dado que estas expansiones coinciden en los primeros 13 dígitos decimales, tenemos que

2^$\sqrt{2}$ = 2. 665 144 142 690 2...

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