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2.4 Densidad de Q

Los resultados de la sección anterior pueden ser usados para demostrar una serie de propiedades interesantes de los números racionales e irracionales. Comencemos con la densidad de Q:

Teorema 2   Dados x, y $ \in$ IR, con x < y, existe un racional r tal que x < r < y.

Prueba:

Primero tomemos el caso 0 $ \leq$ x < y. La idea es tomar un n suficientemente grande, y comenzar a ``pegar brincos'' de longitud $ {\frac{1}{n}}$, partiendo del origen, hasta caer en el intervalo ]x, y[. Para asegurarnos de no brincarnos completamente dicho intervalo, debe tenerse $ {\frac{1}{n}}$ < y - x.

 

Densidad de Q

Más precisamente, usamos la arquimedianidad de IR para concluir que existe n $ \in$ IN tal que n > (y - x)-1, y consecuentemente $ {\frac{1}{n}}$ < y - x. Luego consideramos el conjunto

A = $\displaystyle \left\{\vphantom{ j\in I\!\! N:j>nx}\right.$j $\displaystyle \in$ IN : j > nx$\displaystyle \left.\vphantom{ j\in I\!\! N:j>nx}\right\}$.

Otra vez por arquimedianidad, A no es vacío, y por el principio del buen orden existe el primer elemento de A, que denotaremos por k. En particular k $ \in$ A y k - 1$ \notin$A, lo que significa

$\displaystyle {\frac{k-1}{n}}$ $\displaystyle \leq$ x < $\displaystyle {\frac{k}{n}}$.

De la primera desigualdad se sigue que $ {\frac{k}{n}}$ $ \leq$ x + $ {\frac{1}{n}}$ < x + (y - x) = y, y consecuentemente r : = $ {\frac{k}{n}}$ satisface

x < r < y.

En el caso x < 0 < y, tenemos que r = 0 es el racional buscado.

En el caso x < y $ \leq$ 0, tenemos 0 $ \leq$ - y < - x, y por lo que acabamos de demostrar existe r $ \in$ IQ tal que - y < r < - x. Luego x < - r < y, y como - r $ \in$ IQ, el resultado queda demostrado.


En los ejercicios se le pide al lector demostrar que el conjunto de los números irracionales es también denso en IR. El teorema anterior es de vital importancia en análisis. Por ejemplo, para definir rigurosamente ciertas funciones, se define primero para los racionales y luego se extiende a todos los reales utilizando la densidad de IQ. Esta idea la usaremos más adelante para definir la función exponencial.

Ejemplo 2.4.1   Considere el conjunto

A = $\displaystyle \left\{\vphantom{ x\in I\!\! Q:x<1}\right.$x $\displaystyle \in$ IQ : x < 1$\displaystyle \left.\vphantom{ x\in I\!\! Q:x<1}\right\}$.

Notemos que $ \alpha$ = 1 es una cota superior. Por otro lado, dado b < 1, la densidad de IQ permite concluir que existe r $ \in$ IQ tal que b < r < 1, de donde r $ \in$ A y r > b. Esto demuestra que b no puede ser cota superior de A, y por lo tanto sup A = 1.

Ejemplo 2.4.2   El conjunto A = $ \left\{\vphantom{ 1-\frac{1}{n}:n\in I\!\! I\!\! N}\right.$1 - $ {\frac{1}{n}}$ : n $ \in$ IIN$ \left.\vphantom{ 1-\frac{1}{n}:n\in I\!\! I\!\! N}\right\}$ es acotado superiormente. Es un buen ejercicio demostrar que sup A = 1.
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