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En la enseñanza secundaria se introducen intuitivamente las funciones
exponencial y logarítmica, y se utilizan sus propiedades en la
resolución de problemas. Dicha presentación intuitiva, deja sin
embargo algunos sinsabores, como por ejemplo: ¿cómo
explicar lo que significa
? Sería discutible si deba irse un
poco más allá y presentar al estudiante de secundaria una
construcción rigurosa de la función exponencial. Pero lo que sí
parece importante, es que el docente debe estar preparado para responder
cualquier pregunta que pueda surgir en este sentido. Debemos entonces al menos
familiarizarnos con los detalles que le dan rigor a toda esa mecánica de
la potenciación, lo que a la vez nos ayudaría en la elaboración de
técnicas didácticas que exploten mejor la idea intuitiva que la sustenta.
Comúnmente, en la literatura la función exponencial se presenta de una manera prácticamente axiomática, aceptando su existencia y sus propiedades, y muchas veces, sin dar siquiera una idea intuitiva de lo que pasa en el caso de exponentes irracionales. Una construcción ``rigurosa'' de dicha función se presenta después de haber estudiado integración, construyendo primero la función logarítmica como una integral definida. Dicha construcción, además de usar una herramienta relativamente sofisticada, esconde en alguna medida la naturaleza de la función exponencial. Debemos sin embargo reconocer la importancia histórica de este método. En efecto, son los logaritmos y no las potencias, los primeros en definirse, al menos intuitivamente, para todo el continuo de los números reales (Neper 1614 - 1620, y Bürgi 1620).
Ahora, para hacer una construcción elemental de la función
exponencial, hay varias posibilidades. Si se utiliza directamente el axioma
del extremo superior, la labor se hace bastante tediosa, perdiendo el gusto en
los detalles técnicos. Hay que anotar además que el axioma del extremo
superior, en su forma común, es bastante difícil de entender y manipular.
En el presente trabajo se presenta una construcción más intuitiva,
sobre todo para un docente de secundaria, acostumbrado a trabajar con
expansiones decimales. Visto desde la óptica de la completitud, es la
misma construcción mencionada arriba, pero enriquecida con el uso del
teorema de Weierstrass y las propiedades elementales de convergencia de
sucesiones. Visto desde la óptica de un docente de secundaria, es la
formalización de la construcción intuitiva que siempre hemos
enseñado a los muchachos.
Se ha evitado en lo posible el uso de herramientas del cálculo diferencial
que podrían enturbiar la presentación. De la teoría de límites
solamente se utiliza el teorema del emparedado, y del cálculo diferencial
únicamente el concepto de derivada, para motivar la existenca del
número e. Sin embargo, la demostración de dicha existencia se hace
independientemente del cálculo diferencial.
El trabajo consta de tres capítulos. En el primero repasamos la
completitud de IR y sus consecuencias, así como nociones
básicas de sucesiones. El lector familiarizado con estos temas puede pasar
directamente al segundo capítulo, donde hacemos la construcción para
exponentes racionales. La parte central del trabajo se realiza en el tercer
capítulo, donde se define la función exponencial sobre todo el
continuo de los números reales, usando las nociones de expansión
decimal y convergencia de sucesiones monótonas. La presentación es
complementada con ejercicios que le ayudan al lector a profundizar un poco
más en el tema, de acuerdo con sus conocimientos previos. Particularmente,
en el tercer capítulo se presentan ejercicios que requieren de ciertos
conocimientos de cálculo diferencial. El lector que no tiene dichos
conocimientos, debe hacer caso omiso de estos ejercicios.
El trabajo está dirigido a profesores y futuros profesores de secundaria. Surge de una inquietud sobre la manera en que este tema es enseñado en los colegios, lo que me motivó a realizar, en el año 1999, un pequeño ciclo de dos charlas, en el marco del Seminario de Enseñanza para la Educación Secundaria, de la Escuela de Matemática (UCR). El aporte de los asistentes a dichas charlas, fue de gran provecho para darle forma final al trabajo.
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