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La función logarítmica

Dado que la función exponencial de base a es biyectiva de IR en $\left]\vphantom{ 0,\infty}\right.$ 0, $\infty$ $\left.\vphantom{ 0,\infty}\right[$ , existe su inversa, que denotamos

log_a : $\displaystyle \left]\vphantom{ 0,\infty}\right.$ 0, $\displaystyle \infty$ $\displaystyle \left.\vphantom{ 0,\infty}\right[$ $\displaystyle \rightarrow$ IR.

Tenemos entonces, por definición de función inversa, que

a^x = y $\displaystyle \Leftrightarrow$ x = log_ay.
Escrito de otra forma:

log_aa^x = x, $\displaystyle \forall$ x $\displaystyle \in$ IR; a^log_ay = y, $\displaystyle \forall$ y > 0.
El gráfico de la función log_a se obtiene del gráfico de f (x) = a^x, reflejando con respecto a la recta y = x. En el caso a > 1 obtenemos,

y si 0 < a < 1 se obtiene

Basados en las propiedades de la función exponencial, podemos deducir las propiedades de la función logarítmica. Veamos:

log_a1 = 0, pues a⁰ = 1.

log_aa = 1, pues a¹ = a.

Sean t = log_ax, s = log_ay. Entonces a^t = x, a^s = y. Luego x^.y = a^{t .}a^s = a^{t + s}, de donde t + s = log_a $\left(\vphantom{ x\cdot y}\right.$ x^.y $\left.\vphantom{ x\cdot y}\right)$ . Esto demuestra que

log_a $\displaystyle \left(\vphantom{ x\cdot y}\right.$ x^.y $\displaystyle \left.\vphantom{ x\cdot y}\right)$ = log_ax + log_ay, $\displaystyle \forall$ x, y > 0.

Sea t = log_ax. Entonces a^ts = $\left(\vphantom{ a^{t}}\right.$ a^t $\left.\vphantom{ a^{t}}\right)^{s}_{}$ = x^s, $\forall$ s $\in$ IR, de donde ts = log_ax^s. Esto demuestra que

log_ax^s = s log_ax, $\displaystyle \forall$ x > 0, $\displaystyle \forall$ s $\displaystyle \in$ IR.

En particular con s = - 1 obtenemos

log_a $\displaystyle {\frac{1}{x}}$ = - log_ax, $\displaystyle \forall$ x > 0.

Combinando las dos propiedades anteriores obtenemos

log_a $\displaystyle {\frac{x}{y}}$ = log_ax - log_ay, $\displaystyle \forall$ x, y > 0.

La función log_ax es estrictamente creciente en $\left]\vphantom{ 0,\infty}\right.$ 0, $\infty$ $\left.\vphantom{ 0,\infty}\right[$ , si a > 1, por ser la inversa de una función creciente.
En efecto, sea 0 < x < y, y sea t = log_ax, s = log_ay. Supongamos que t $\geq$ s. Entonces, como la exponencial de base a es creciente tendríamos x = a^t $\geq$ a^s = y, lo cual es imposible. Entonces log_ax = t < s = log_ay.

Cambio de base:
Sean a, b > 0, a $\neq$ 1, b $\neq$ 1. Sean x > 0, t = log_ax, s = log_bx. Tenemos a^t = x = b^s, de donde t = log_ab^s = s log_ab. Luego

s = $\displaystyle {\frac{t}{\log_{a}b}}$ ,

lo que demuestra que

log_bx = $\displaystyle {\frac{\log_{a}x}{\log_{a}b}}$ .

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