Existencia de raíces

El lector probablememente sabe muy bien que dado a > 0, $\sqrt{a}$ es un número real positivo tal que $\left(\vphantom{ \sqrt{a}}\right.$ $\sqrt{a}$ $\left.\vphantom{ \sqrt{a}}\right)^{2}_{}$ = a. En esta sección usamos la completitud de IR para darle rigor a esta definición. En otras palabras, demostraremos que la función f : IR⁺ $\rightarrow$ IR⁺, definida por f (x) = x², es sobreyectiva. Primero, y para enfatizar la diferencia entre IQ y IR, vamos a demostrar que esto no es posible hacerlo en IQ. Específicamente, vamos a demostrar que:

Lema 2.5.1 No existe r $\in$ IQ tal que r² = 2.

Prueba:
En efecto, supongamos que sí existe tal r. Entonces se puede escribir

r = $\displaystyle {\frac{m}{n}}$ ,
donde m, n son naturales, y al menos uno de ellos es impar. Se sigue entonces que m² = 2n², y consecuentemente m² es par, lo que implica que m también es par (¿por qué?), esto es m = 2k para algún k $\in$ IZ. Luego

2n² = m² = 4k²,
y obtenemos que n² también es par, con lo cual n es par. Como esto es contradictorio, no existe tal r.

Este hecho, junto con el lema siguiente, permite concluir que existe un número real $\sqrt{2}$ $\in$ II.

Lema 2.5.2 Dado a > 0, existe un número $\alpha$ > 0 tal que $\alpha^{2}_{}$ = a. A tal $\alpha$ se le llama la raíz cuadrada de a, y se le denota $\alpha$ = $\sqrt{a}$ .

Prueba:
Defina los conjuntos

A = $\displaystyle \left\{\vphantom{ x\geq0:x^{2}<a}\right.$ x $\displaystyle \geq$ 0 : x² < a $\displaystyle \left.\vphantom{ x\geq0:x^{2}<a}\right\}$ , B = $\displaystyle \left\{\vphantom{ y>0:y^{2}>a}\right.$ y > 0 : y² > a $\displaystyle \left.\vphantom{ y>0:y^{2}>a}\right\}$ .
Como a > 0 tenemos que 0 $\in$ A, así que A $\neq$ $\emptyset$ . Además, como (a + 1)² > a + 1 > a, tenemos B $\neq$ $\emptyset$ . La igualdad

x² - y² = $\displaystyle \left(\vphantom{ x+y}\right.$ x + y $\displaystyle \left.\vphantom{ x+y}\right)$ $\displaystyle \left(\vphantom{ x-y}\right.$ x - y $\displaystyle \left.\vphantom{ x-y}\right)$
demuestra que para x, y > 0 se tiene

x > y $\displaystyle \Leftrightarrow$ x² > y².
Luego, dados x $\in$ A y y $\in$ B se tiene x² < a < y², con lo que x < y. Por la completitud de IR existe $\alpha$ $\in$ IR tal que x $\leq$ $\alpha$ $\leq$ y para todo x $\in$ A y todo y $\in$ B. Para demostrar que $\alpha^{2}_{}$ = a, debemos descartar las posibilidades $\alpha^{2}_{}$ > a y $\alpha^{2}_{}$ < a. Veamos:

1.

Si $\alpha^{2}_{}$ < a, tome 0 < $\varepsilon$ < 1. Note que $\varepsilon^{2}_{}$ < $\varepsilon$ , y entonces

( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \varepsilon$ )² = $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ + 2 $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \varepsilon$ + $\displaystyle \varepsilon^{2}_{}$ < $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ + (2 $\displaystyle \alpha$ + 1) $\displaystyle \varepsilon$ .
Si además $\varepsilon$ < $\left(\vphantom{ a-\alpha^{2}}\right.$ a - $\alpha^{2}_{}$ $\left.\vphantom{ a-\alpha^{2}}\right)$ / $\left(\vphantom{ 2\alpha+1}\right.$ 2 $\alpha$ + 1 $\left.\vphantom{ 2\alpha+1}\right)$ , se sigue que

( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \varepsilon$ )² < $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ + (2 $\displaystyle \alpha$ + 1) $\displaystyle \varepsilon$ < $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{ a-\alpha^{2}}\right.$ a - $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ a-\alpha^{2}}\right)$ = a.
Esto es, $\alpha$ + $\varepsilon$ $\in$ A, contradiciendo el hecho que $\alpha$ es cota superior de A.

2.

Si $\alpha^{2}_{}$ > a, note que

( $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \varepsilon$ )² = $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ - 2 $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \varepsilon$ + $\displaystyle \varepsilon^{2}_{}$ > $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ - 2 $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \varepsilon$ .
Si 0 < $\varepsilon$ < $\left(\vphantom{ \alpha^{2}-a}\right.$ $\alpha^{2}_{}$ - a $\left.\vphantom{ \alpha^{2}-a}\right)$ /2 $\alpha$ , obtenemos

$\displaystyle \left(\vphantom{ \alpha-\varepsilon}\right.$ $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \alpha-\varepsilon}\right)^{2}_{}$ > $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ - 2 $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \varepsilon$ > $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ - $\displaystyle \left(\vphantom{ \alpha^{2}-a}\right.$ $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ - a $\displaystyle \left.\vphantom{ \alpha^{2}-a}\right)$ = a.
Pero entonces $\alpha$ - $\varepsilon$ $\in$ B, lo que contradice el hecho que $\alpha$ es cota inferior del conjunto B.

Un argumento similar al anterior se usa para demostrar que dados a > 0, n $\in$ IN, existe $\alpha$ > 0 tal que $\alpha^{n}_{}$ = a. Tal $\alpha$ se llama la raíz n - ésima de a, y se denota $\alpha$ = $\sqrt[n]{a}$ .