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Derivada y el número e

En esta sección motivamos la definición del número e que daremos en la siguiente. Si el lector no está familiarizado con la noción de derivada, puede pasar directamente a la sección 4.5.

Sea g$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ = log_ax, y tratemos de derivar esta función en x = 1. Tenemos

g^$\prime$$$\left(\vphantom{ 1}\right.$$1$$\left.\vphantom{ 1}\right)$$ = $$\lim_{t\rightarrow0}^{}$$$${\frac{\log_{a}\left( 1+t\right) -\log_{a}1}{t}}$$ = $$\lim_{t\rightarrow0}^{}$$$${\frac{1}{t}}$$log_a$$\left(\vphantom{ 1+t}\right.$$1 + t$$\left.\vphantom{ 1+t}\right)$$ = $$\lim_{t\rightarrow0}^{}$$log_a$$\left(\vphantom{ 1+t}\right.$$1 + t$$\left.\vphantom{ 1+t}\right)^{1/t}_{}$$.

Asumiendo que existe el límite

e : = $$\lim_{t\rightarrow0}^{}$$$$\left(\vphantom{ 1+t}\right.$$1 + t$$\left.\vphantom{ 1+t}\right)^{1/t}_{}$$ = $$\lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$$$\left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right.$$1 + $${\frac{1}{n}}$$$$\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right)^{n}_{}$$,

tenemos g^$\prime$(1) = log_ae. En la próxima sección demostramos la existencia de dicho límite. Aquí hemos usado además la continuidad de la función logarítmica, lo cual es consecuencia de la continuidad de la exponencial (ejercicio: demuéstrelo). En particular, si a = e obtenemos g^$\prime$$\left(\vphantom{ 1}\right.$1$\left.\vphantom{ 1}\right)$ = log_ee = 1. En este caso la función g se suele llamar el logaritmo natural, o logaritmo neperiano, y se una la notación

ln x = log_ex.

Tenemos entonces que para g(x) = ln x se tiene

$$\prime \lim_{t\rightarrow0}^{} {\frac{\ln\left(1+t\right) }{t}}$$ (4.3)

Para x > 0 arbitrario tenemos

g$\prime$(x)	= ${\frac{d}{dx}}$ln x = $\lim_{t\rightarrow0}^{}$${\frac{\ln\left( x+t\right) -\ln x}{t}}$ = $\lim_{t\rightarrow0}^{}$${\frac{1}{t}}$ln$\left(\vphantom{ 1+\frac{t}{x}}\right.$1 + ${\frac{t}{x}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{t}{x}}\right)$
	= ${\frac{1}{x}}$$\lim_{t\rightarrow0}^{}$${\frac{x}{t}}$ln$\left(\vphantom{ 1+\frac{t}{x}}\right.$1 + ${\frac{t}{x}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{t}{x}}\right)$ = ${\frac{1}{x}}$$\lim_{u\rightarrow0}^{}$${\frac{\ln\left( 1+u\right) }{u}}$ = ${\frac{1}{x}}$,

donde hemos hecho el cambio u = ${\frac{t}{x}}$, y usamos (4.3).

Tratemos ahora de derivar la función f (x) = e^x. Como f es continua, haciendo el cambio t = e^h tenemos

f^$\prime$(0) = $$\lim_{h\rightarrow0}^{}$$$${\frac{e^{h}-1}{h}}$$ = $$\lim_{t\rightarrow1}^{}$$$${\frac{t-1}{\ln t}}$$ = $$\lim_{u\rightarrow0}^{}$$$${\frac{u}{\ln\left(1+u\right) }}$$ = $${\frac{1}{g^{\prime}(1)}}$$ = 1,

donde g(x) = ln x. Luego, en general

f^$\prime$(x) = $$\lim_{h\rightarrow0}^{}$$$${\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}}$$ = e^x$$\lim_{h\rightarrow0}^{}$$$${\frac{e^{h}-1}{h}}$$ = e^x,  $$\forall$$x $$\in$$ IR.

Tenemos entonces

$${\frac{d}{dx}}$$e^x = e^x,  $$\forall$$x $$\in$$ IR.

Nota: Esta propiedad es exclusiva de la función exponencial de base e. En efecto, se puede demostrar que si una función satisface f^$\prime$ = f, entonces f$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ = Ce^x, para alguna constante C.

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