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Existencia del número e

Considere las sucesiones

xn = $\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right)^{n}_{}$,  yn = $\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}%% {n}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}%% {n}}\right)^{n+1}_{}$.

Entonces yn = $ \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right.$1 + $ {\frac{1}{n}}$$ \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right)$xn > xn, para todo n $ \in$ IN. Además

$ {\frac{x_{n+1}}{x_{n}}}$ = $ {\frac{\left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n}}}$ = $ \left(\vphantom{ \frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}}}\right.$$ {\frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}}}$$ \left.\vphantom{ \frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}}}\right)^{n}_{}$$ \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n+1}}\right.$1 + $ {\frac{1}{n+1}}$$ \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n+1}}\right)$
  = $ \left(\vphantom{ 1-\frac{1}{(n+1)^{2}}}\right.$1 - $ {\frac{1}{(n+1)^{2}}}$$ \left.\vphantom{ 1-\frac{1}{(n+1)^{2}}}\right)^{n}_{}$$ {\frac{n+2}{n+1}}$ > $ \left(\vphantom{1-\frac{n}{(n+1)^{2}}}\right.$1 - $ {\frac{n}{(n+1)^{2}}}$$ \left.\vphantom{1-\frac{n}{(n+1)^{2}}}\right)$$ {\frac{n+2}{n+1}}$
  = $ {\frac{\left( n^{2}+n+1\right) \left( n+2\right) }{(n+1)^{3}}}$ > 1,

para todo n $ \in$ IN. En el segundo renglón, hemos hecho uso de la desigualdad de Bernoulli, con x = - $ {\frac{1}{(n+1)^{2}}}$ > - 1. Esto demuestra que la sucesión $ \left(\vphantom{ x_{n}}\right.$xn$ \left.\vphantom{ x_{n}}\right)$ es creciente. Similarmente se demuestra que la sucesión $ \left(\vphantom{ y_{n}}\right.$yn$ \left.\vphantom{ y_{n}}\right)$ es decreciente. En efecto, el lector puede verificar que

$\displaystyle {\frac{y_{n}}{y_{n+1}}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n\left( n+2\right) }}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{n\left( n+2\right) }}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n\left( n+2\right) }}\right)^{n+1}_{}$$\displaystyle {\frac{n+1}{n+2}}$ > $\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{n+1}{n\left( n+2\right) }}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{n+1}{n\left( n+2\right) }}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{n+1}{n\left( n+2\right) }}\right)$$\displaystyle {\frac{n+1}{n+2}}$ > 1.

En particular se tiene

2 = x1 < xn < yn < y1 = 4,

así que ambas sucesiones son acotadas. Por el teorema de Weierstrass $ \left(\vphantom{ x_{n}}\right.$xn$ \left.\vphantom{ x_{n}}\right)$ es convergente, y podemos definir

e : = $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}^{}$xn = $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right)^{n}_{}$.

Para el cálculo de derivadas, necesitamos tomar el límite no solo sobre naturales, sino sobre los reales.

Teorema 8   Para el número e que acabamos de definir se tiene:

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)^{x}_{}$ = e.

Prueba

Tomemos x $ \in$ IR y definamos n = [x]. Tenemos entonces n $ \leq$ x < n + 1, y consecuentemente

1 + $\displaystyle {\frac{1}{n}}$ $\displaystyle \geq$ 1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$ > 1 + $\displaystyle {\frac{1}{n+1}}$.

Luego

$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right)^{n}_{}$ $\displaystyle \geq$ $\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)^{n}_{}$ > $\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n+1}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{n+1}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n}_{}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n+1}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{n+1}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1}_{}$$\displaystyle {\frac{n+1}{n+2}}$,

y como

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right)^{n}_{}$ = $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n+1}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{n+1}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1}_{}$$\displaystyle {\frac{n+1}{n+2}}$ = e,

se tiene

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)^{[x]}_{}$ = e.

Por otro lado, dado que 0 $ \leq$ x - [x] < 1, se tiene

1 $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)^{x-[x]}_{}$ < 1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$,

y por el teorema del emparedado

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)^{x-[x]}_{}$ = 1.

Finalmente

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)^{x}_{}$ = $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)^{[x]}_{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}%% {x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}%% {x}}\right)^{x-[x]}_{}$ = e.

Ejemplo 4.5.1   Calcular

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)^{2x+1}_{}$.

Tenemos

$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)^{2x+1}_{}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ \left( 1+\frac{1}{x}\right) ^{x}}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)^{x}_{}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \left( 1+\frac{1}{x}\right) ^{x}}\right)^{2}_{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)$,

y por las propiedades de límites se concluye que

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)^{2x+1}_{}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left( 1+\frac{1}{x}\right) ^{x}}\right.$$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)^{x}_{}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left( 1+\frac{1}{x}\right) ^{x}}\right)^{2}_{}$$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{x}}\right)$ = e2.

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