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Exponente entero

Las identidades de la sección anterior nos dan una idea de lo que debemos hacer en el caso de exponentes enteros. Si, por ejemplo, queremos que la tercera identidad sea válida con n = m, debemos tener

a⁰ = a^{n - n} = $${\frac{a^{n}}{a^{n}}}$$ = 1.

Debemos definir entonces a⁰ : = 1. Nótese que no hemos demostrado que a⁰ = 1, solo hemos justificado por qué definirlo así.

Tratemos ahora de definir a^-m, para m $\in$ IN. Para comenzar, si queremos que la propiedad 1 sea válida con exponentes negativos, debemos tener por ejemplo

a^{-2 .} a² = a^{-2 + 2} = a⁰ = 1,

y dividiendo por a² obtenemos

a^-2 = $${\frac{1}{a^{2}}}$$.

En general, tomando m en lugar de 2 obtenemos que para que se cumpla a^{-m .} a^m = a⁰, debe definirse:

a^-m : = $${\frac{1}{a^{m}}}$$,  $$\forall$$m $$\in$$ IIN.

Con esto tenemos definido a^z, para a $\neq$ 0 y cualquier z $\in$ IZ.

En este punto debemos demostrar que las propiedades 1,...,5 siguen siendo válidas para todo n, m $\in$ IZ. Por ejemplo, nótese que

a^{-4 .} a³ = $${\frac{1}{a^{4}}}$$ ^. a³ = $${\frac{a^{3}}{a^{4}}}$$ = $$\left(\vphantom{ \frac{a^{4}}{a^{3}}}\right.$$$${\frac{a^{4}}{a^{3}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{a^{4}}{a^{3}}}\right)^{-1}_{}$$ = a^-1 = a^{-4 + 3}.

El caso general no es más complicado que esto. Tomando por ejemplo p $\geq$ m tenemos

a^{-p .} a^m = $${\frac{a^{m}}{a^{p}}}$$ = $$\left(\vphantom{ \frac{a^{p}}{a^{m}}}\right.$$$${\frac{a^{p}}{a^{m}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{a^{p}}{a^{m}}}\right)^{-1}_{}$$ = $$\left(\vphantom{ a^{p-m}}\right.$$a^{p - m}$$\left.\vphantom{ a^{p-m}}\right)^{-1}_{}$$ = a^{- $\left(\vphantom{ p-m}\right.$p - m$\left.\vphantom{ p-m}\right)$} = a^{-p + m}.

Esto demuestra la propiedad 1 en el caso n = - p, con p $\geq$ m. El caso p < m es más fácil.

Similarmente procedemos con la propiedad 2: Si n = - p < 0 y m > 0, tenemos

$$\left(\vphantom{ a^{n}}\right.$$aⁿ$$\left.\vphantom{ a^{n}}\right)^{m}_{}$$ = $$\left(\vphantom{ a^{-p}}\right.$$a^-p$$\left.\vphantom{ a^{-p}}\right)^{m}_{}$$ = $$\left(\vphantom{ \frac{1}{a^{p}%% }}\right.$$$${\frac{1}{a^{p}%% }}$$$$\left.\vphantom{ \frac{1}{a^{p}%% }}\right)^{m}_{}$$ = $${\frac{1}{a^{pm}}}$$ = a^-pm = a^nm,

donde usamos las propiedades 2 y 5 para p, m $\in$ IN. Los otros casos se tratan de manera similar.

Ejemplo 3.2.1   Simplificar la expresión

$${\frac{\left( ab^{-2}c^{3}\right) ^{-4}}{\left( a^{-3}b^{2}c^{-4}\right) ^{3}}}$$.

Aplicando las propiedades 2 y 5 para exponentes enteros tenemos

$$\left(\vphantom{ ab^{-2}c^{3}}\right.$$ab^-2c³$$\left.\vphantom{ ab^{-2}c^{3}}\right)^{-4}_{}$$ = $$\left(\vphantom{ ab^{-2}}\right.$$ab^-2$$\left.\vphantom{ ab^{-2}}\right)^{-4}_{}$$$$\left(\vphantom{ c^{3}}\right.$$c³$$\left.\vphantom{ c^{3}}\right)^{-4}_{}$$ = a^-4b⁸c^-12,

mientras que

$$\left(\vphantom{ a^{-3}b^{2}c^{-4}}\right.$$a^-3b²c^-4$$\left.\vphantom{ a^{-3}b^{2}c^{-4}}\right)^{3}_{}$$ = a^-9b⁶c^-12.

Luego, por las propiedades 3 y 4 se obtiene

$${\frac{\left( ab^{-2}c^{3}\right) ^{-4}}{\left( a^{-1}b^{2}c^{-4}\right) ^{3}}}$$ = $${\frac{a^{-4}b^{8}c^{-12}}{a^{-9}b^{6}c^{-12}}}$$ = a^{9 - 4}b^{8 - 6} = a⁵b².

Ejemplo 3.2.2   Resolver la siguiente ecuación:

2 ^. 4ⁿ - 9 ^. 2ⁿ + 4 = 0,    n $$\in$$ IZ.

Tomando x = 2ⁿ obtenemos la ecuación 2x² - 9x + 4 = 0. Factorixando por inspección, o usando la fórmula general, obtenemos las soluciones x = 4, x = ${\frac{1}{2}}$. Si x = 4 obtenemos 2ⁿ = 2², y no es difícil convencerse de que esto implica n = 2. Similarmente, si x = ${\frac{1}{2}}$ se sigue que n = - 1. El conjunto solución es entonces S = $\left\{\vphantom{ -1,2}\right.$ -1, 2$\left.\vphantom{ -1,2}\right\}$.

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